а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение.
Первый и важнейший момент решения – построение чертежа.
Выполним чертеж:
- уравнение y=0 задает ось «иксов»;
- х=-2 и х=1 – прямые, параллельные оси Оу;
- у=х2+2 – парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0;2).
Замечание. Для построения параболы достаточно найти точки ее пересечения с координатными осями, т.е. положив х=0 найти пересечение с осью Оу и решив соответствующее квадратное уравнение, найти пересечение с осью Ох.
Вершину параболы можно найти по формулам:
Можно построить линии и поточечно.
На отрезке [-2;1] график функции y=x2+2 расположен над осью Ox, поэтому:
Ответ: S =9 кв.ед.
После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.
|
|
Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью Ох?
b) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=-ex, x=1 и координатными осями.
Решение.
Выполним чертеж.
Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью Ох, то её площадь можно найти по формуле:
Ответ: S=(e-1) кв.ед.»1,72 кв.ед.
Внимание! Не следует путать два типа задач:
1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.
2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости.
с) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у=2х-х2, у=-х.
Решение.
Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический.
Решаем уравнение:
Значит, нижний предел интегрирования а=0, верхний предел интегрирования b=3.
Строим заданные линии: 1. Парабола – вершина в точке (1;1); пересечение с осью Ох – точки(0;0) и (0;2). 2. Прямая – биссектриса 2-го и 4-го координатных углов. А теперь Внимание! Если на отрезке [ a;b ] некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x), то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле: .
И не важно, где расположена фигура – над осью или под осью, а важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой– НИЖЕ. В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть |
Можно построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными).
Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке [0;3] , по соответствующей формуле:
Ответ: S =4,5 кв.ед.