Задача ставится так: найти функцию , удовлетворяющую внутри круга радиуса с центром в начале координат уравнению Лапласа:
, (4.34)
непрерывную в замкнутой области и принимающую заданные значения на границе круга:
, (4.35)
где – заданная периодическая функция с периодом .
Из непрерывности решения в следует его ограниченность в .
Уравнение (4.34) в полярных координатах имеет вид:
. (4.36)
Будем искать частные решения уравнения (4.36) в виде:
. (4.37)
Подставляя в форме (4.37) в уравнение (4.36), умноженное на , получим:
,
или ,
откуда получаем два уравнения:
, (4.38)
. (4.39)
Из (4.38) находим , так что:
, . (4.40)
А при получаем .
Уравнение (4.39) является уравнением Эйлера. Полагая в этом уравнении , при получаем:
.
Отсюда , и, следовательно:
, . (4.41)
При из (4.39) находим:
.
Так как и при , то для решения внутренней задачи Дирихле нужно положить , , т.е. взять , , .
Решение внутренней задачи Дирихле будем искать в виде ряда:
, (4.42)
где коэффициенты , определяются из граничного условия (4.35).
При имеем:
. (4.43)
Запишем разложение в ряд Фурье:
, (4.44)
где
, , . (4.45)
Сравнивая ряды (4.43) и (4.44), получаем:
, , , . (4.46)
Таким образом, формальное решение внутренней задачи Дирихле для круга представимо в виде ряда:
, (4.47)
где коэффициенты , , ,…, , ,… определяются по формулам (4.45).
При ряд (4.47) можно дифференцировать по и любое число раз, и, значит, функция из (4.47) уравняет уравнению .
Решение для внешней задачи Дирихле следует искать в виде ряда:
, (4.48)
где коэффициенты , определяются из граничного условия .
Для кольцевой области , образованной двумя концентрическими окружностями с центром в точке радиусов и (рис. 4.6), решение задачи ищется в виде ряда:
, (4.49)
коэффициенты которого , , , , , , определяются из граничных условий:
, .
Рис. 4.6. К решению задачи Дирихле для кольца
Пример. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге , принимающее на границе круга значения .
Решение задачи будем искать в виде ряда:
.
Найдем коэффициенты ряда по формулам (4.45) и (4.46).
.
.
.
Итак, получили решение в виде ряда:
.