Введение. Теория линейных интегральных уравнений возникла в конце ХIX века в связи с изучением задач математической физики

Теория линейных интегральных уравнений возникла в конце ХIX века в связи с изучением задач математической физики. Введение интегральных уравнений принадлежит Лапласу (1782 г), который рассматривал уравнения в связи с решением дифференциальных уравнений.

Позже Абель пришел к интегральному уравнению с одной механической задачей и получил два его решения. После этого интегральные уравнения изучал Лиувилль. Важным моментом в изучении интегральных уравнений явилась работа Вольтерра ((Вито Вольтерра (1860-1940))

Начало теории интегральных уравнений было положено в 1900 году знаменитыми работами шведского математика И.Фредгольма, (Эрик Ивар Фредгольм (1800-1927) в которых была построена теория линейных интегральных уравнений Фредгольма II рода и с помощью этой теории впервые было получено решение для уравнения Лапласа. Решения интегральных уравнений находились с помощью, так называемых определителей Фредгольма, были доказаны теоремы об альтернативе Фредгольма. Эта красивая, хотя и несколько громоздкая, теория излагалась позднее в ряде учебных руководств.

В 1907-1908 гг. Э.Шмидтом был положен новый подход к построению теории интегральных уравнений Фредгольма II рода. Этот подход был основан на представлении ядра интегрального оператора в виде суммы вырожденных ядер и ядра, малого по некоторой норме. Это позволило значительно упростить вывод основных теорем Фредгольма. Такое изложение придает теории доступность, простоту и изящество, делает ее доступной не только математикам, но и физикам и инженерам, так как требует лишь знания основ классического математического анализа. Решающий шаг в дальнейшем распространении теории был сделан Ф.Рисом.

Фундаментальные результаты были получены в первом десятилетии XX века Гильбертом и Шмидтом. Дальнейшее развитие идей Гильберта, а также Карлемана, Ф.Риса и И Неймана привело к созданию теории операторов в гильбертовом пространстве. Последняя играет важную роль в анализе и теоретической физике.

В настоящее время теория представляет собой важный раздел современной математики, имеющий широкие приложения в теории дифференциальных уравнений, классической и современной математической физике, в задачах естествознания и техники, является ключом к открытию обширной области математики, которая ныне называют функциональным анализом. Знакомство с этой теорией является интересным и полезным для студентов - физиков и математиков.