Тема 2. Понятие резольвенты интегрального уравнения

11 12 13 14 15 16 17

Пусть имеем интегральное уравнение Вольтерра 2 рода

где есть непрерывная функция при

а непрерывна при .

Будем искать решение интегрального уравнения (3.1) в виде бесконечного степенного ряда по степеням :

(3.2)

Подставляя формально этот ряд в (1), получим

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, найдем:

……………………………………………………………………..

Соотношения (3.4) дают способ последовательного определения функций . Можно показать, что при сделанных предположениях относительно полученный таким образом ряд (3.2) сходится равномерно по при любом и и его сумма есть единственное решение уравнения (3.1).

Далее, при перестановке двойных интегралов необходимо применить формулу Дирихле; в результате этого получим

Поэтому за интегрированное ядро надо взять функцию

Аналогично устанавливается для любого

Функции называются повторными или итерированными ядрами. Они, как нетрудно видеть, определяются при помощи рекуррентной формулы

Используя (3.7) и (3.8), равенство (3.2) можно записать так:

Опр. Функция определяемая при помощи ряда

называется резольвентой (или разрешающим ядром) интегрального уравнения (3.1). Ряд (3.10) в случае непрерывного ядра сходится абсолютно и равномерно.

Приведем две полезные формулы, выражающие решение одного интегрального уравнение через решения других интегральных уравнений.

1. Пусть решению уравнения Вольтерра второго рода с ядром отвечает резольвента . Тогда решению уравнения Вольтерра второго рода с ядро отвечает резольвента .