Тема 1 Существования и единственности решения. Метод последовательных приближений

Рассмотрим уравнение

где непрерывны на [a,x), а - непрерывна в основном квадрате: a≤ x, y>x.

Будем искать решение в виде ряда

где функции подлежат определению.

Предположим, что ряд (2.2) равномерно сходится и – решение уравнения (2.1), тогда (2.2)→(2.1):

Подставляя предполагаемое решение (2.2) в обе части уравнения (2.1) и переставляя порядок интеграла и суммы, что в силу равномерной сходимости ряда получим.

Степенные ряды, стоящие в левой и правой частях соотношения, будут совпадать тогда и только тогда, когда равны коэффициенты в степенных рядах при одинаковых степенях λ. Приравнивая эти коэффициенты, получим

………………………………….

С помощью этих соотношений все коэффициенты , ряда (2.2) определяется однозначно, они являются непрерывными функциями на [a,b]. Подставляя (2.4) в (2.2), получим формальное решение уравнения (2.1).

Покажем, что ряд (2.2) действительно равномерно сходится для всех λ. Используя ограниченность функции и :

Найдем последовательно из (2.4)

………………………………………………………………………..

Значит ряд (2.2) мажорируется рядом

По признаку Даламбера:

Следовательно, ряд (2.2) сходится равномерно (и абсолютно) для всех полученных Сумма ряда является непрерывной функцией и удовлетворяет уравнению (2.1)

Итак, уравнение Вольтерра разрешимо при любом λ.

Замечания: Приведенный метод – метод последовательных подстановок – был развит Нейманом, Лиувиллем и Вольтерра. Этот метод дает решение в виде степенного ряда относительно λ, причем коэффициенты при различных степенях λ являются функциями от х. Для уравнений Вольтерра ряд сходится при всех λ. Этот метод называют еще «методом малого параметра».

Покажем теперь, что уравнение Вольтерра не может иметь более одного решения в классе ограниченных функций, ни при каком значении

Пусть y(x) и y*(x) – два ограниченных решения уравнения, тогда разность ω(x)=y(x)-y*(x) ограничена:

Если только

И удовлетворяет однородному уравнению

Имеем

где

Подставляя в правую часть (2.10) вместо значение , получим в силу (2.8) новую оценку для

(2.11)

Заменяя в интеграле , получим

т.д.

После «k» шагов:

Но так как из(2.5) заключили, что ряд (2.2) мажорируется,сходящимся рядом (2.6) при всех конечных и, следовательно, , где >0 – любое число, значит, и y(x)=y*(x).

Замечание:

Значит, однородное уравнение типа Вольтерра имеет лишь тривиальное решение. Следовательно, уравнение типа Вольтерра не имеет характеристических чисел.

Найдем решение путем последовательных приближении. Выбираем Последующие приближения определяем по формуле