Уравнения прямой на плоскости

1.1.1. Если прямая l на плоскости проходит через точку N (x ₀, y ₀) перпендикулярно векто-ру =(A, B) (рис.1.1), то общее уравнение прямой l имеет вид

A (x - x ₀)+ B (y - y ₀)=0. (1.1) Как правило, общее уравнение (1.1) прямой приводят к виду

Ax + By + C =0, (1.2)

где C =- Ax ₀- By ₀.

Вектор =(A, B) называется вектором нормали (или нормалью) прямой l.

1.1.2. Если прямая l не параллельна оси Oy, то явное уравнение прямой имеет вид

y = kx + b, (1.3)

где k =tg a, a - угол наклона прямой к оси Ox, b - ордината точки пересечения прямой с осью Oy. k называется угловым коэффициентом прямой l, уравнение (1.3) - уравнением прямой с угловым коэффициентом.

1.1.3. Если прямая l проходит через точку N (x ₀, y ₀) параллельно вектору =(a, b) (рис.1.3), то параметрические уравнения прямой l имеют вид

(1.4)

Вектор =(a, b) называется направляющимвектором прямой l.

1.1.4. Кроме общего, явного и параметрического уравнений прямой также рассматриваются другие виды уравнений:

каноническое: = , (1.5)

где (a, b) - направляющий вектор прямой, (x ₀, y ₀) - некоторая точка прямой;

уравнение прямой, проходящей через точкиN (x ₀, y ₀), M (x ₁, y ₁):

= , (1.6)

уравнение прямой в отрезках: + =1, (1.7)

при условии, что прямая не параллельна ни одной из осей координат.

1.1.5. Замечания. 1) С помощью тождественных преобразований из одного вида уравнений можно прийти к другому. Например, если B ≠0, то из общего уравнения можно прийти к уравнению с угловым коэффициентом: y=- x - . Обратно, из уравнения (1.3) получается общее: - kx + y - b =0. Далее, исключая параметр t из (1.4), можно прийти к (1.5), И т.д.

2) В частных случаях, когда прямая параллельна одной из осей, общее уравнение (1.2) записывается в виде x = a (если прямая параллельна оси Oy) или y = b (если прямая параллельна оси Ox) (рис. 1.4).

3) В каноническом уравнении (1.5) допускается, чтобы a =0 или b =0 (но не одновременно!). В этом уравнении дроби не обозначают операцию деления. Например, уравнение = означает, что прямая проходит через точку (2; -3) параллельно вектору (0; 4).

4) По сути уравнение (1.6) является каноническим уравнением прямой с направляющим вектором (x ₁- x ₀; y ₁- y ₀).

5) Геометрический смысл параметров a и b в уравнении (1.7) следующий: a и b - соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями соответственно Ox и Oy (рис. 1.5).

1.1.6. Упражнения. 1) Написать различные уравнения прямой и изобразить прямые в системе координат:

а) проходящей через точку N (3; -2) перпендикулярно вектору =(4; -2);

б) проходящей через точку N (2; 4) перпендикулярно вектору =(3; 8);

в) проходящей через точку N (4; 2) параллельно вектору =(3; -1);

г) проходящей через точку N (5; -8) параллельно вектору =(2; 3);

д) проходящей через точку N (2; -1) и M (3; -4);

е) проходящей через точку N (3; 2) и M (4; -5).

Решение. а) По формуле (1.1) имеем 4(x -3)-2(y +2)=0. Преобразуем его к виду (1.2): 4 x -2 y -16=0. Это - общее уравнение прямой. Его можно сократить на 2: 2 x - y -8=0.

Приведём к уравнению с угловым коэффициентом: y =2 x -8.

Напишем параметрические и каноническое уравнения. Для этого заметим, что вектор =(1; 2) будет направляющим, так как

(, )=1×4+2×(-2)=0,

то есть ^ и поэтому параллелен l. Отсюда по (1.4)

= -

- параметрические и каноническое уравнения соответственно.

Для получения уравнения в отрезках применим к общему уравнению тождественные преобразования:

2 x - y -8=0 Û 2 x - y =8 Û - =1 Û + =1,

то есть + =1 - уравнение прямой в отрезках.

в) Напишем сначала каноническое уравнение прямой: = . Для написания общего уравнения применим тождественные преобразования к этому равнению:

= Û (-1)(x -4)=3(y -4) Û - x +4=3 y -6 Û

Û - x -3 y +10=0 Û - x -3 y +10=0 Û x +3 y -10=0,

то есть x +3 y -10=0 - общее уравнение прямой (как правило, коэффициент при х приводят к знаку «+». Остальное - как в а) (довести до конца!).

д) Напишем уравнение прямой, проходящей через две точки:

= Û = .

Остальное - как и выше (довести до конца).

Ответ: а) 2 x - y -8=0 - общее уравнение прямой,

y =2 x -8 - уравнение прямой с угловым коэффициентом,

- параметрические уравнения прямой,

= - каноническое уравнение прямой,

+ =1 - уравнение прямой в отрезках.

2) Известны угол a наклона прямой к оси Ox и точка N, через которую проходит прямая. Написать уравнение прямой:

а) a = , N (4; 2);

б) a = , N (2; -1);

в) a = , N (3; -8).

Решение. а) Напишем уравнение с угловым коэффициентом: y = kx + b, где k =tg = , то есть y = x + b. Так как N (4; 2) принадлежит прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению прямой: 2= ×4+ b, откуда b =2-4 . Окончательно имеем y = x +2-4 .

Ответ: а) y = x +2-4 - уравнение прямой с угловым коэффициентом.