Другие виды уравнения гиперболы

Расположение относительно осей

Вершины

Оси и центр

Исследование уравнения гиперболы

Пусть гипербола задана каноническим уравнением

, (1)

где с² = а²+b² . (2)

Как и в случае эллипса доказывается, что гипербола с уравнением (1) симметрична относительно осей координат и начала координат.

Определение 1. Центр симметрии гиперболы называется её центром, оси симметрии – осями. Ось гиперболы, на которой лежат её фокусы, называется фокальной осью.

1) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Ох:

A₁(a;0), A₂(-a;0).

2) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Оy:

точек пересечения с осью Oy нет.

Определение 2. Точки пересечения гиперболы с её фокальной осью называются вершинами гиперболы; фокальная ось называется также действительной осью. Ось, с которой гипербола не пересекается называется мнимой осью. Числа a>0 и b>0 называются соответственно действительной и мнимой полуосями.

Исследуем гиперболу в первом квадрате (четверти) то есть при и

;

b²x²-a²y² = a²b²;

y =.

Если 0 < a, то и принимает мнимые значения (точек гиперболы нет).

Если а, то при возрастании возрастает и, начиная от нуля при. Дуги гиперболы в остальных квадрантах симметричны этой дуге относительно осей координат и начала координат.

Гипербола состоит из двух изолированных ветвей.

Замечание. Так как, то и директрисы не пересекают гиперболу.

4. Асимптоты (от греческого – несовпадающий, не касающийся)

Термин «асимптота» применительно к гиперболе приписывают Аполлонию Пергскому (III век до н.э.).

Рассмотрим прямую линию с уравнением, x > 0 и обозначим соответственно через M и N точки гиперболы и этой прямой, ….. общую абсциссу. Ординыты… этих точек обозначим через и, тогда имеем M(x;y_m), N(x;y_n­). Пусть для определённости эти точки находятся в первом квадрате.

tg α =.

Пусть MK, тогда MK – расстояние от точки M гиперболы до прямой. Из MNK имеем MK = MN cos α, так как NMK = α = KOA₁ (углы соответственно перпендикулярным сторонам). Тогда имеем Y_N = x, Y_M =, так как a x, то

x- >0 и Y_N > Y_M. Следовательно: NM = Y_N-Y_M = (x-).

Устраним абсциссу к бесконечности и рассмотрим предел:

=.

Но тогда и MK = MN cos α = cos α (x-) при стремится к нулю.

Таким образом, точка М при неограниченно приближается к прямой. Если же, то к прямой неограниченно приближается и другая ветвь гиперболы в третьем квадранте.

Так как гипербола симметрична относительно оси Oy, то этими же свойствами обладает и прямая с уравнением.

Определение 3. Две прямые, к которым гипербола неограниченно приближается, нигде их не пересекая, называются асимптотами гиперболы.

OA₁ = a, A₁C₁ = b,. OC₁ = OF₁ = C, где с² = a² + b² = OC₁² = OF₁².

1) Пусть гипербола задана уравнением:

. (3)

Тогда фокальной осью является ось Oy, и вершины гиперболы лежат на этой оси. Центр – О(0;0).

2) Пусть центр гиперболы находится в точке. Тогда если её оси параллельны осям то.

B₁(0;b), B₂(0;-b), F₁(0;c), ­F₂(0;-c). (c>b)

- директрисы; - асимптоты.

Определение 4. Гиперболы с уравнениями (1) и (3) называются сопряжёнными друг другу.

3) Сопряжённые гиперболы (1) и (3) имеют общие асимптоты с уравнениями.

4) Если a = b, то гипербола называется равносторонней. Уравнение (1) в этом случае имеет вид:

x² – y² = a² (4)

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения и. Из формулы (2) получаем:

с² = 2а² .

В этом случае асимптоты равносторонней гиперболы содержат биссектрисы координатных углов и поэтому взаимно перпендикулярны.

Если эти асимптоты принять за оси прямоугольной декартовой системы координат, то в этой системе равносторонняя гипербола имеет уравнение:

или, (5)

где или.

Уравнение (5) называется уравнением гиперболы, отнесённой к свои асимптотам.

Таким образом, равносторонняя гипербола является графиком обратной пропорциональности.

5) Пусть центр гиперболы находится в точке. Тогда если её оси параллельны осям координат Ох и Оy, то имеем соответственно уравнения:

и.

Пример. Построим гиперболу с уравнением x² – 4y² = 4x.

Выделим полный квадрат с переменной:

(x² – 4x +4) – 4y² – 4 = 0, (x-2)² – 4y² = 4;

O^’(2;0), a = 2, b = 1,;

OF₁ = OC₁ =.

§18. Парабола (“приложение”)

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой l, не проходящей через фокус, называемой директрисой.

Для вывода уравнения параболы за ось Ox примем прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно директрисе l. За положительное направление оси абсцисс возьмём направление от директрисы к фокусу. За начало координат возьмем точку O, которая делит пополам отрезок от директрисы до фокуса. Длину этого отрезка обозначим через P и назовем фокальным параметром параболы.

Тогда фокус F имеет координаты, а точка A оси Ox, через которую проходит директриса l, имеет координаты. Возьмем произвольную точку M(x,y) параболы и соединим ее с фокусом F, а затем опустим перпендикуляр MN на директрису l. При этом длину отрезка MN обозначим через r и назовем фокальным радиусом точки M, а длину отрезка MN обозначим d. Тогда по определению параболы имеем:.

Замечание: По аналогии с эллипсом и гиперболой число, назовем директрисой параболы. Так как r=d, то для параболы.

Теорема. Пусть прямоугольная декартова система координат Oxy выбрана указанным выше способом. Тогда в этой системе координат парабола имеет каноническое уравнение:.

Доказательство.

Пусть M(x;y) – произвольная точка параболы, – фокус, или – уравнение директрисы. Тогда имеем:

; - расстояние от точки M(x,y) до прямой l, причем x≥0.

.

.

Теорема доказана.