2015-03-08
1712| Істинні | Істинний | ||
| Принаймні один хибний | Істинний | ||
| Істинні | Хибний | ||
| Принаймні один хибний | Хибний |
20. Чому науку логіку називають “ формальною ”?
21. Охарактеризуйте відношення логічного слідування і його значення для вирішення проблеми правильності міркувань.
22. У чому полягає нормативний характер логіки?
23. Прокоментуйте тези:
(а) „Логіка - це наука не про існуюче, а про належне”.
(б) „Необхідний характер логічних законів - це не та необхідність, яка притаманна, наприклад, законам гравітації”.
24. Чому дослідження формальною логікою правильних міркувань передбачає не лише їх опис, але й можливість їх конструювання? Чи є логіка емпіричною наукою?
25. Що таке „ висловлювання ”? Які висловлювання вважають істинними/хибними? Які існують способи встановлення істинності/хибності висловлювань?
26. Які висловлювання вважають логічно істинними, логічно хибними і логічно недетерміиованими?
27. До якого типу висловлювань (логічно істинні, логічно хибні, логічно недетерміновані) належать запропоновані висловлювання. Відповідь обгрунтуйте.
(а) „Усі філософи - скептики і деякі філософи не є скептиками”.
(б) „Кількість книг у ЦНБ ім. В.Вернадського є парним числом”.
(в) „Кентаври існують або вони не існують”.
28. Що таке „ логічний закон ” і „ логічна суперечність ”?
29. Охарактеризуйте закони суперечності, виключеного третього, тотожності, достатньої підстви.
30. На якій підставі виділяють демонстративні та правдоподібні міркування? Що є суттєвою ознакою демонстративних міркувань?
31. У чому полягає специфіка міркувань за аналогією?
32. На якій підставі виділяють теоретичні і практичні міркування? Наведіть приклади теоретичних і практичних міркувань.
33. Уявіть лоцмана, що веде корабель через океан, астронома, який споглядає зірки, і астролога, що створює гороскоп. Припустимо, що кожен з них міркує: „Сіріус з'явився над Кассіопеєю”. В яких випадках міркування будуть теоретичними, а в яких - практичними? Відповідь обгрунтуйте (Ишмуратов А. Т. Логический анализ практических рассуждений. - К.: Наук, думка, 1987. - с.7).
34.У чому полягають функції природних мов? У чому полягає специфічний інтерес логіки до природної мови?
35. Як співвідносяться між собою поняття: „ природна мова ”, „ штучна мова ”, „ формалізована мова ”?
36. Яка мета створення формалізованих мов?
37. Прокоментуйте тези:
(а) „Формалізовані мови не створюють для заміни мов природних”.
(б) „Формалізовані мови - це спрощені фрагменти мов природних”.
38. Що таке „ синтаксис метамови ” і „ семантика метамови ”? Визначте формалізовану мову із урахуванням цих понять. Охарактеризуйте загальну схему побудови формалізованої мови.
39. У чому полягає сутність методу формалізації? Що означає формалізація в широкому значенні і формалізація у вузькому значенні?
40. Чому середину — кінець 19 ст. і початок 20 ст. вважають початком нового етапу розвитку логічних знань?
41. Як співвідносяться між собою поняття: „ формальна логіка ”, „ традиційна логіка ”, „ сучасна логіка ”, „ класична логіка ”, „ символічна логіка ”, „ математична логіка ”, „ некласична логіка ”?
42. Коротко охарактеризуйте зв'язки логіки з іншими науками (наприклад, з лінгвістикою, філософією, математикою, психологією, правом, соціологією).
ТЕМА 2
Семінар 3 (2 год.)
1. Сформулюйте суттєві характеристики логіки висловлювань.
2. Що таке „ дескриптивне висловлювання”? Охарактеризуйте поняття „речення”, „судження” і „висловлювання”. Чи можуть різні речення виражати одне судження і, навпаки, чи можна виражати різні судження за допомогою одного речення? Наведіть відповідні приклади.
3. Що складає значення і смисл висловлювання?
4. У чому полягає сутність принципу двозначності?
5. У чому полягає відмінність між простими і складними висловлюваннями? Наведіть відповідні приклади.
6. Які висловлювання вважають абсурдними? Наведіть приклади абсурдних висловлювань.
7. Прокоментуйте текст:
„— Дуже важливий факультет Смислозанепаду або Неможливостей. Наприклад, Циганське містовпорядкування або Ацтекські хіппі. [...] Головне в кожній дисципліні — це розуміння коренів її безглуздості, а у випадку Смислозанепаду — цілковитої неможливості. Як приклад можна навести поділ на морфеми знаків азбуки Морзе, історію сільського господарства в Антарктиді, історію живопису на острові Пасхи, сучасну шумерську літературу, ассиро-вавилонську філателію, введення послуху в систему Монтессорі, технологію виготовлення коліс в імперіях доколумбового періоду, створення образів в азбуці Брайля, фонетику німих фільмів...
— А що ви скажете про психологію поведінки натовпу в пустелі Сахара? [...]
— Так що ж ми розмістили у розділі Смислових Суперечностей, який я ніяк не можу знайти? [...]
— У розділі Смислових Суперечностей, як засвідчує сама його назва, ми розмістили вивчення предметів із взаємо-виключаючим смислом. Тому я вважаю, що „Містовпорядкування у циган” треба було б включити саме сюди...
– Ні, — заперечив Бельбо, — лише в тому випадку, коли б ішлося про містовпорядування у кочівних народів. Смислозанепад досліджує теоретичну неможливість, а Смислові Суперечності — неможливість, наявну в самих термінах.
— Подивимося. Що ми внесли до Смислових Суперечностей? Ага, ось: революційне творення, статична динаміка, Гераклітова статика, спартанська розніженість, заклади народної олігархії, історія невідтворюваних традицій, тавтологічна діалектика.
Я відчув необхідність зробити і свій внесок:
— Чи можу я запропонувати Граматику помилок?
— Чудово, чудово! — вигукнули обидва і зробили відповідний запис”
(Умберто Эко. Маятник Фуко. - К.: Фіта, 1995. - С. 89-90).
8. Охарактеризуйте структуру і призначення синтаксису метамови і семантики метамови логіки висловлювань.
9. Що входить до складу алфавіту мови логіки висловлювань?
10. Дайте визначення формули логіки висловлювань. Чому коректніше говорити про визначення схем формул логіки висловлювань?
11. Чому визначення формул логіки висловлювань є ефективним?
12. Серед запропонованого переліку зазначте формули логіки висловлювань:
(а) р ~ q; (г) "х(Gx É Hх);
(б) р v ~ q; (д) 2 + 2 = 4;
(в) р6 v ~ q3 (е) p q É.
13. Опишіть процедуру „ перекладу ” міркувань природної мови на мову логіки висловлювань.
14. Виразіть за допомогою мови логіки висловлювань міркування природної мови:
(а) „Анатолій залишиться і він або Юрій будуть чекати”.
(б) „Анатолій залишиться і буде чекати або Юрій буде чекати”.
(в) „Якщо в цьому році буде засуха, то якщо будуть урагани — частина населення острова емігрує”.
(г) „Якщо увечері буде туман, то Микола або залишиться вдома, або буде змушений скористатися таксі”.
(д) „Ні Північ, ні Південь не здобули перемоги в громадянській війні”.
(е) „Якщо містер Джонс щасливий, то місіс Джонс нещаслива, і якщо містер Джонс нещасливий, то місіс Джонс щаслива”.
(є) „Якщо „Спартак” або „Баварія” програють, а „Динамо” виграє, то „Парі Сен Жермен” втратить перше місце і, крім того, Андрій програє парі”.
(ж) „Пшениця збережеться тоді і тільки тоді, коли мінеральні добрива будуть розумно використані; якщо пшениця не збережеться, то фермери збанкрутують і залишать свої ферми”.
(з) „Якщо я збираюся помандрувати в Карпати тоді і тільки тоді, коли складу всі іспити, то. якщо я не складу всі іспити, то залишуся у Києві”.
(и) „Якщо Джонс захворіє або Сміт буде у відрядженні, то угода не буде підписана, а директори не зустрінуться і не визначать прибуток, якщо Робінсон не схаменеться і не візьме справу під контроль”.
15. Здійсніть „переклад” (якомога ближче до повсякденного вживання) на українську мову:
(а) „ ~ (потяг вирушив із запізненням & ~ потяг прибув із запізненням)”.
(б) „ ~ потяг вирушив із запізненням & ~ потяг прибув із запізненням”.
(в) „ ~ потяг часто прибуває із запізненням”.
(г) „ ~ більшість потягів прибуває із запізненням”.
16. Здійсніть переклад на природну мову зазначених формул, за умови, що: с – „сьогодні ясно”; r – „сьогодні йде дощ”; s – „сьогодні йде сніг”; у – „вчора було хмарно”.
(a) с É ~ (r & s).
(б) у «с.
(в) y & (c v ~ r).
(г) (y É r) v c.
(д) с É (~ (r & s) v y).
(e) (c «r) & (~ c v y).
17. Виразіть за допомогою мови логіки висловлювань зазначені речення природної мови, за умови, що: р – „мета покарання - залякування”; q – „смертна кара - ефективний засіб залякування”; r – „смертна кара повинна існувати”; s – „смертна кара існує в багатьох країнах”; t – „мета покарання - помста”.
(а) „Якщо метою покарання є залякування, а смертна кара є ефективним засобом залякування, то смертна кара повинна існувати”.
(б) „Смертна кара не є ефективним засобом залякування, хоча вона існує в багатьох країнах”.
(в) „Смертна кара не повинна існувати, якщо вона не є ефективним засобом залякування, за умови, що залякування не с метою покарання”.
(г) „Якщо помста, але не залякування, є метою покарання, то смертна кара не повинна існувати”.
(д) „Смертна кара повинна існувати, незважаючи навіть на те, що вона не є ефективним засобом залякування, за умови, що метою покарання є помста разом із залякуванням”.
18. Яким чином встановлюють значення істинності складного висловлювання?
19. Охарактеризуйте кожен логічний сполучник. Побудуйте відповідні таблиці істинності. Спробуйте встановити кількість можливих пропозиційних сполучників для двох аргументів (двозначних функцій істинності).
20. Порівняйте логічні і граматичні сполучники.
21. Наведіть приклади граматичних сполучників, що не є сентенційними. Наведіть приклади сентенційних граматичних сполучників, що не є істинно-функціональними. Чи будуть запропоновані сентенційні випадки граматичних сполучників істиннісно-функціональними? Відповідь обгрунтуйте.
(а) „Випадково, що …”.
(б) „ … для того, щоб …”.
(в) „Ні …, ані …”.
22. Охарактеризуйте логічні сполучники методом аналітичних правил.
23. У чому полягає відмінність між строгою і нестрогою диз'юнкцією? Наведіть відповідні приклади. Диз'юнкція р v q є істинною; q — хибне. Яким є значення істинності р? Чи залежить відповідь на це запитання від характеру строгості диз'юнкції?
24. У чому полягає відмінність між достатньою, необхідною, достатньою і необхідною умовою? Відповідь проілюструйте прикладами.
25. Нехай (p É q) & (r «р) є істинною формулою. Чи буде (за цієї умови) істинним, що:
(а) р є необхідною умовою для q.
(б) р є необхідною умовою для r.
(в) р є достатньою умовою для r.
(г) р є достатньою умовою для q.
(д) r є достатньою умовою для q.
26. У зазначених твердженнях встановіть необхідні, достатні, необхідні і достатні умови. Символічно виразіть логічні форми тверджень, користуючись відповідними пропозиційними змінними: р, q і r.
(а) „Якщо Сергій виграв змагання на марафонській дистанції (р), то він офіційно завершив забіг на цій дистанції (q)”.
(б) „Якщо Сергій (і тільки він) завершив забіг на марафонській дистанції зі світовим рекордом (r), то Сергій виграв змагання на цій дистанції (p)”.
(в) „Остап — чоловік Ганни (p), якщо Ганна — дружина Остапа (q)”.
27. Виразіть за допомогою мови логіки висловлювань зазначені речення природної мови, за умови, що: р – „Микола танцює”; q – „Оксана танцює”;
r – „Андрій танцює”; s – „Микола щасливий”; t – „Оксана щаслива”; u – „Андрій щасливий”.
(а) „Микола танцює, але Оксана не танцює”.
(б) „Якщо Микола не танцює, тоді Оксана не буде щасливою”.
(в) „Те, що Микола танцює достатньо для того, щоб Оксана була щасливою”.
(г) „Те, шо Микола танцює є необхідним для того, щоб Оксана була щасливою”.
(д) „Микола не буде танцювати, якщо Оксана нещаслива”.
(е) „Якщо те, що Микола танцює є необхідним для того, щоб Оксана була щасливою, тоді Андрій буде нещасливим”.
(є) „Якщо Оксана танцює, хоча Микола нещасливий, Андрій танцюватиме”.
(ж) „Якщо ні Микола, ні Андрій не танцюють, Оксана нещаслива”.
(з) „Оксана нещаслива тоді, коли Микола або Андрій не танцюють”.
(и) „Оксана буде щасливою, якщо Микола і Андрій танцюють”.
(і) „Хоча ні Микола, ні Андрій не танцюють, Оксана щаслива”.
(ї) „Якщо Андрій танцює, тоді, якщо Оксана танцює, то Микола буде танцювати також”.
(й) „Оксана буде щасливою, тільки якщо Андрій щасливий”.
(к) „Ні Микола, ні Андрій не будуть танцювати, якщо Оксана нещаслива”.
(л) „Якщо Оксана танцює тільки тоді, коли Андрій танцює, і Микола танцює тільки тоді, коли Оксана танцює, то Микола танцює лише тоді, коли Андрій танцює”.
(м) „Оксана буде танцювати, якщо Микола або Андрій (але не обидва разом) танцюють”.
(н) „Якщо Микола танцює і Оксана також танцює, але Андрій не танцює, тоді Оксана не буде щасливою, але Микола і Андрій будуть щасливими”.
(о) „Оксана буде щасливою, якщо і тільки якщо Микола щасливий”.
(п) „За умови, що Андрій нещасливий, Микола не буде танцювати, якщо Оксана не танцює”.
(р) „Якщо Микола танцює за умови, що коли він танцює, то і Оксана танцює, то він танцює”.
28. Припустимо, що формула р «q є хибною. Встановіть значення істинності формул:
(а) р «~ q.
(б) ~ р «~ q.
29. Припустимо, що формула р «q є істинною. Встановіть значення істинності формул:
(а) ~ р «q.
(б) ~ р «~ q.
30. Припустимо, що формула p É q є істинною, а р «q є хибною. Встановіть значення істинності формули q É p.
31. Встановіть значення істинності р, q, r, s у наведених виразах, якщо відомо, що перший і другий вирази є істинними, а третій і четвертий вирази — хибні:
(а) „Якщо 10 — парне число, то p”.
(б) „Якщо q, то 10 — непарне число”.
(в) „Якщо 10 — парне число, то r”.
(г) „Якщо s, то 10 — непарне число”.
32. Чи можна однозначно встановити значення істинності формули
~ (р v q) «(~ р & ~q), якщо відомо, що формула р v q є істинною.
Відповідь обгрунтуйте.
33. За якою ознакою у пропозиційній логіці виділяють логічні закони, логічні суперечності, нейтральні формули.
34. За допомогою яких методів можна встановлювати вид формули? В чому полягає сутність методу таблиць істинності?
35. За допомогою таблиць істинності встановіть значення істинності формул:
(a) p É q;
(б) ~ р É q;
(в) ~ (р É ~ q);
(г) (р É q) É р;
(д) р É (р v q);
(е) ~ (~ р v р);
(є) ~ q Ú ~ ~ (~ р «q);
(ж) ~ (~ р É (р É q));
(з) ~ (р & q) É ((q «р) v q);
(u) (р & (q v r)) «((p & q) v (p & r)).
36. В якому із чотирьох випадків:
(а) Ціни зростають, інфляція зростає;
(б) Ціни не зростають, інфляція зростає;
(в) Ціни зростають, інфляція не зростає;
(г) Ціни не зростають, інфляція не зростає;
твердження „Ціни не зростають або інфляція не зростає” буде істинним? Дайте відповідь, враховуючи можливість тлумачення сполучника „або” в строго розділовому і в нестрого розділовому значеннях. В яких випадках (серед чотирьох зазначених) значення істинності твердження „Ціни не зростають або інфляція не зростає” не буде залежати від строгості сполучника “або”?
37. Наведіть приклади:
(а) істинної імплікації з істинним засновком;
(б) істинної імплікації з хибним висновком;
(в) хибної імплікації з хибним засновком;
(г) хибної імплікації з істинним висновком;
(д) хибної імплікації з хибним висновком.
38. Охарактеризуйте парадокси матеріальної імплікації.
39. Прокоментуйте діалог:
Логік: Отже, з хибного твердження випливає все що завгодно.
Студент: Боюсь, що я не збагнув цього.
Логік: Це дійсно дуже просто. Ти впевнений, що нічого не розумієш?
Студент: Все, в чому я впевнений: якщо я розумію це, тоді я — мавпячий король.
Логік: У цьому ти правий. (Сміється)
Студент: Чому Ви смієтеся?
Логік: Бо ти все ж таки не розумієш.
40. Спробуйте прокоментувати такий випадок: „Одного разу Бертран Рассел, обговорюючи проблему умовних висловлювань, зазначив, що з хибного висловлювання випливає все, що завгодно. Співрозмовник-скептик запитав Рассела: „Ви маєте на увазі те, що якщо 2 + 2 = 5, то тоді Ви - Папа Римський?” Рассел відповів ствердно і до своєї відповіді долучив таке „доведення”: Припустимо, що 2 + 2 = 5. Тоді очевидно, що віднявши 2 від кожної сторони рівняння отримаємо 2 = 3. Поміняємо місцями 3 і 2. Від кожної сторони рівняння знову віднімемо 1. Отримаємо нове рівняння: 2 = 1. Отже, якщо Папа Римський і я - це двоє людей і 2 = 1, то Папа Римський і я є одним. Отже, я - Папа Римський”.
41. Встановіть значення істинності твердження „Якщо сьогодні середа, то завтра буде субота” для кожного дня тижня. Чи знайдеться такий день тижня, коли: (а) твердження „Якщо сьогодні понеділок, то завтра буде четвер” було б істинним?; (б) твердження „Якщо сьогодні понеділок, то завтра буде вівторок” було б істинним?; (в) твердження „Якщо сьогодні понеділок, то завтра буде середа” було б хибним?
42. Встановіть вид формул:
(а) ~ (~ p v p) & q.
(б) p É (~ p É q).
(в) ~ ((p É q) & (q É ~ p)) É ~ p.
(г) ((p v q v r) & (~ p & ~ q)) É r.
(д) ((~ q É ~ p) & (q É (p & r))) É (p É r).
43. Припустимо, що p — істинне, q — хибне, r — хибне. Не будуючи повних таблиць істинності, встановіть (якщо це можливо) значення істинності формул:
(а) (p v q) & r.
(б) p & (q v r).
(в) r É (p v s).
(г) p É (r É s).
(д) p É (r É s).
(е) (p v r) «(q & s).
(є) p «(q É (r v s)).
(ж) (p & q) É (r «s).
(з) (p «~q) v r v (s É m).
(и) (p & q) É (r É (s v m)).
44. Відомо, що р - істинне, q - хибне, r - істинне, s - хибне. На підставі лише цієї інформації (не будуючи повних таблиць істинності) встановіть (якщо це можливо) значення істинності формул:
(а) ~ ((р v q) É (q v r)) É (r É р).
(6) (р É ~ q) & (r É s).
(в) ~ [p v (((q É r) & (r É ~ p)) & (~ p É (q & r)))].
(г) ((p & r) v (q & s)) É ~ ((p & s) v (q & r)).
Для кожної з формул, які (за даних умов) набувають значення „істина”, встановіть, чи є вони логічними законами. Для кожної з формул, які (за даних умов) набувають значення „хибність”, встановіть, чи є вони логічними суперечностями.
Семінар 4 (2 год.)
45. Яким чином можна використати метод часткових (неповних) таблиць істинності (метод контрприкладу) для встановлення того, чи є деяка формула (а) логічним законом; (б) логічною суперечністю; (в) нейтральною формулою?
46. Використовуючи метод часткових таблиць iстинності (метод контрприкладу), встановіть, чи є формули (а) - (г) тавтологіями; чи є формула (д) логічною суперечністю?
(а) (р «q) É ((r & p) «(q & r)).
(6) ~ q É (p «(~ p & q)).
(в) ((р v q) É r) É ((p É г) & (q É r)).
(г) (q «(~p v q)) É (p & ~q).
(д) ~ (p É q) & ~ (p É ~q).
47. Яку множину пропозиційних сполучників вважають адекватною (функціонально завершеною)?
48. З якою метою використовують метод аналітичних таблиць? Які теоретичні і технічні припущення зумовлюють правомірність методу аналітичних таблиць?
49. Вирішіть вправу (42) за допомогою методу аналітичних таблиць.
50. Які існують відношення між формулами логіки висловлювань?
51. У чому полягає сутність відношення логічного слідування? Чому відношення логічного слідування вважають у логіці фундаментальним?
52. Сформулюйте проблему розв'язуваності.
53. Чи випливає (логічно слідує) висловлювання (а) із висловлювання (б) (і навпаки)?
(а) „Компанія винна, якщо і тільки якщо ліки були аспірином і термін їх дії закінчився у січні”.
(б) „Якщо ліки були аспірином, тоді термін їх дії закінчився у січні і компанія винна; але якщо ліки не були аспірином, то термін їх дії не закінчився у січні i компанія не винна”.
54. Чи існує між парами зазначених формул відношення логічного слідування? Дайте відповідь за допомогою методу таблиць істинності, методу побудови контрприкладу і методу аналітичних таблиць.
(а) (p v q) & ~ p і q.
(б) p É (q v s) і (~ q v ~ s) É ~ p.
55. Встановіть, чи будуть наведені міркування правильними. Використайте різні методи вирішення.
(а) „Я піду додому або залишуся тут і вип'ю каву. Я не піду додому. Отже, я залишуся тут і вип'ю каву”.
(б) „Борис або перевтомлений, або хворий. Якщо він перевтомлений, то він роздратований. Він не роздратований. Отже, він хворий”.
(в) „Якщо ціни високі, то й заробітна плата висока. Ціни високі або застосовується регулювання цін. Якщо застосовується регулювання цін, то інфляція відсутня. Інфляція наявна. Отже, заробітна плата висока”.
(г) „Якщо Джонс убивця, то йому відомий час смерті Сміта і чим він був убитий. Отже, якщо Джонс не знає, коли Сміт помер або чим він був убитий, то Джонс - не вбивця”.
(д) „Якщо я піду завтра на першу лекцію, то я буду змушений вставати рано, а якщо я піду увечері до театру, то лягатиму спати пізно. Якщо я ляжу спати пізно, а встану рано, то я змушений буду обмежитися п'ятигодинним сном. Я не в змозі обмежитися п'ятигодинним сном. Отже, я повинен або пропустити завтра першу лекцію, або не йти до театру”.
(е) „Якщо б не світило Сонце, то прийшлося палити свічки і гас. Якщо б прийшлося палити свічки і гас, то чиновникам не вистачало платні і, отже, вони були б змушені брати хабарі. Отже, чиновники не беруть хабарі тому, що світить Сонце”.
(є) Колись халіф Омар замірився спалити Олександрійську бібліотеку. Правомірність свого наміру він обґрунтовував так: „Якщо зміст книг бібліотеки узгоджується з Кораном, то вони зайві. Якщо ж зміст книг не узгоджується з Кораном, то вони шкідливі. Зайві або шкідливі книги необхідно знищувати. Отже, книги Олександрійської бібліотеки необхідно знищити”.
(ж) „Якщо я поїду на автобусі і автобус запізниться, то я пропущу лекцію з логіки. Якщо я пропущу лекцію з логіки і почну сумувати, то мені не варто їхати додому. Якщо я не складу сесію, то я почну сумувати і мені варто поїхати додому. Отже, якщо я поїду на автобусі і автобус запізниться, то я складу сесію”.
(з) „Зарплата зросте лише тоді, коли буде інфляція. Якщо буде інфляція, то подорожчають продукти харчування. Заробітна плата зросте. Отже, продукти харчування подорожчають”.
(и) „Якщо Сем живе в Манхетені, то він не має машини. Сем машину має. Отже, Сем не живе в Махетені”.
(і) „Якщо результат перегонів буде визначений наперед або в гральних будинках будуть орудувати шахраї, то прибутки від туризму впадуть і місто постраждає. Якщо прибутки від туризму впадуть, поліція буде задоволеною. Поліція ніколи не буває задоволеною. Отже, результат перегонів не є визначеним наперед”.
(ї) „Якщо федеральні витрати збільшуються, а податки не зростають, тоді буде інфляція. Якщо наявна інфляція, то багато конгресменів програють на наступних виборах. Отже, якщо податки зростають, небагато конгресменів програють на наступних виборах”.
(й) „Якщо генеральний прокурор — злочинець, тоді, якщо начальник поштової служби — розкрадач, то президент — телепень'. Отже, якщо начальник поштової служби — розкрадач, а президент — не телепень, тоді генеральний прокурор — не злочинець”.
(к) „Сьогодні або субота, або неділя. Якщо сьогодні неділя, то поштові відправлення не надходять. Тому, якщо сьогодні поштові відправлення надходять, то сьогодні — субота”.
(л) „Якщо Петро поїде до Харкова, то Іван поїде до Києва. Петро поїде до Харкова або до Львова. Якщо Петро по'іде до Львова, то Ольга залишиться в Одесі. Але Ольга в Одесі не залишиться. Отже, Іван поїде до Києва”.
(м) „Якщо всі засновки істинні і міркування є правильним, то висновок — істинний. У даному міркуванні висновок — хибний. Отже, в даному міркуванні не всі засновки істинні, або це міркування — неправильне”.
(н) „Якщо курс лекцій “Логіка” є цікавим, то він - корисний. Або зазначений курс лекцій не є цікавим, або викладач курсу „Логіка” - поблажливий. Але викладач цього курсу - непоблажливий. Отже, курс лекцій „Логіка” не є корисним”.
(о) „Людина не могла б успішно орієнтуватись і діяти в оточуючому середовищі, якщо б її відчуття не давали правильного уявлення про це середовище. Але відомо, що людина успішно орієнтується і діє в оточуючому середовищі. Отже, відчуття людини подають їй правильне уявлення про оточуюче середовище”.
(п) „Якщо будувати протиатомні сховища, то інші держави почуватимуть себе в небезпеці, а наш народ матиме хибне уявлення щодо своєї безпеки. Якщо інші держави почуватимуть себе в небезпеці, то вони зможуть розпочати превентивну війну. Якщо наш народ матиме хибне уявлення щодо своєї безпеки, то він послабить свої зусилля, скеровані на збереження миру. Якщо ж не будувати протиатомні сховища, то ми ризикуємо мати величезні втрати у випадку війни. Отже, або інші країни зможуть розпочати превентивну війну і наш народ послабить свої зусилля, скеровані на збереження миру, або ми ризикуємо мати величезні втрати у випадку війни”.
(р) „Для того, аби бути допущеним до іспитів, необхідно отримати залік з логіки. Я отримаю цей залік, якщо навчуся перевіряти міркування методом аналітичних таблиць. Я не засвоїв цього методу. Отже, мене не допустять до іспитів”.
(с) „Для того, аби перейти на наступний курс, достатньо скласти іспит з логіки на „задовільно”. Я складу цей іспит на „задовільно” лише тоді, коли зрозумію застосування методу аналітичних таблиць. Але я не в змозі зрозуміти цей метод. Отже, я все ж таки перейду на наступний курс”.
(т) „Для того, аби скласти іспит, мені необхідно мати підручник або конспект. Я матиму підручник лише в тому випадку, якщо мій приятель не поїде додому. Але він поїде додому лише тоді, коли я дістану конспект. Отже, я складу іспит”.
56. Три підприємці (р, q і г) домовились про певний порядок укладання угод. Якщо підприємець р не укладає угоду, то підприємець q також її не укладає. Якщо підприємець p укладає угоду, то її також укладають підприємці q і r. Чи зобов'язаний (на підставі зазначених домовленостей) підприємець r укладати угоду, якщо угоду укладає підприємець q?
57. Що таке „ логічна рівносильність ”? Які висловлювання вважають рівносильними?
58. Для зазначених формул знайдіть рівносильні формули, в яких були б відсутніми сполучники v, É, «, v:
(а) ~ (р «q).
(б) (р v q) v r.
(в) ~ ((р v q) É р).
59. Охарактеризуйте декілька законів логіки висловлювань, які формулюють на підставі відношення рівносильності. Доведіть, що:
(а) р & р º р.
(б) р & (q v r) º (р & q) v (р & r).
(в) р v (q & г) º (р v q) & (р v r).
(г) р & q º ~ (р É q).
(д) ~ (р v q) º ~ р & ~ q.
(е) ~ (р & q) º ~ р v ~ q.
(є) р & q º ~ (~ p v ~ q).
60. За допомогою методу аналітичних таблиць обгрунтуйте декілька рівносильностей.
61. Чи є серед наведених формул рівносильні?
(а) р É (q & r).
(б) р É (q v r).
(в) (p É q) & (p É r).
(г) (р É q) v (р É r).
(д) (р É q) & (q v r).
(е) (p & q)É r.
(є) р É (q É r).
(ж) (~ р v q) & (q v r).
62. Які висловлювання називають сумісними? Наведіть приклади сумісних і несумісних (за істинністю, за хибністю) висловлювань.
63. Чи будуть сумісними формули: а & b; b É c; a v с.
64. Використовуючи (а) метод таблиць істинності; (б) метод аналітичних таблиць, (в) метод контрприкладу встановіть, чи будуть висловлювання сумісними за істинністю:
1.
(а) „Галина або Зоя передали мені цю книгу минулого вівторка”.
(б) „Якщо цю книгу мені дала Галина, тоді у вівторок опівдні я був в університеті”.
(в) „Увесь вівторок я перебував далеко за межами університету і Зоя ніколи нічого мені не передавала”.
2.
(а) „Принаймні хтось один - Арвідас чи Юлюс - живуть у Клайпеді”.
(б) „Принаймні хтось один - Арвідас чи Юлюс - працюють в університеті”.
(в) „Юлюс не працює в університеті і не живе у Клайпеді”.
3.
(а) „Містер Ніколсон - російський шпигун”.
(б) „Містер Ніколсон не є одночасно шпигуном ЦРУ і російським шпигуном”.
(в) „Містер Ніколсон - шпигун ЦРУ і дотепна людина”.
4.
(а) „Якщо кобальт, але не нікель, наявний, то з'являється коричневий колір”.
(б) „Нікель і магній відсутні”.
(в) „Кобальт наявний, але лише зелений колір з'являється”.
5.
(а) „Якщо курс цінних паперів зростає або відсоткова ставка падає, то або падає курс акцій, або податки не зростають”.
(б) „Курс акцій падає тоді і тільки тоді, коли курс цінних паперів зростає, а також зростають податки”.
(в) „Якщо відсоткова ставка падає, то або курс акцій не падає, або курс цінних паперів не зростає”.
(г) „Або зростають податки, або курс акцій падає і падає відсоткова ставка”.
6.
(а) „Якщо вечірка нудна, то або Аліса починає плакати, або Анатоль розповідає кумедні історії”.
(б) „Якщо Сильвестр присутній на вечірці, то або вечірка нудна, або Аліса починає плакати”.
(в) „Якщо Анатоль розповідає кумедні історії, Аліса не починає плакати”.
(г) „Сильвестр присутній на вечірці тоді і лише тоді, коли Анатоль не розповідає кумедні історії”.
(д) „Якщо Аліса починає плакати, то Анатоль розповідає кумедні історії”.
65. Чи є серед наведених у вправі (60) формул сумісні?
Семінар 5 (2 год.)
66. Охарактеризуйте відношення: (а) суперечності (контрадикторності), (б) протилежності (контрарності), (в) підпротилежності (субконтрарності), (г) підпорядкування і(д) незалежності між формулами логіки висловлювань. За допомогою яких аналітичних таблиць можна встановити наявність/ відсутність зазначених відношень?
67. В яких відношеннях перебувають висловлювання в запропонованому міркуванні: „Природа - добро, якщо вона породження Господа”, - сказав Убертін. „Господь повинен бути добрим, якщо він породив природу”, — посміхнувся Вільгельм. (Эко У. Имя розы // Иностранная литература - 1988. - №7. - С. 32).
68. Для зазначених формул:
(а) (р & (r É r)) É ~ q
(б) р & (q v r)
(в) р É (q «r)
продемонструйте, що жодна із формул (а)-(в) не підпорядковує іншу; а також те, що лише одна формула серед (а)-(в) є підпротилежною по відношенню до двох інших.
69. Доведіть, що для будь-яких двох формул логіки висловлювань р і q:
1. якщо р і q перебувають у відношенні протилежності, то:
(а) кожна з них підпорядковує заперечення іншої;
(б) заперечення цих формул (тобто, ~ р і ~ q) перебувають у відношенні підпротилежності.
2. якщо р і q перебувають у відношенні підпротилежності, то:
(а) заперечення однієї формули підпорядковує іншу формулу, і навпаки;
(б) між запереченнями цих формул (тобто, між ~ р і ~ q) наявне відношення протилежності.
3. р і q є рівносильними,
(а) якщо і тільки якщо ~ р і ~ q є рівносильними;
(б) якщо і тільки якщо р і ~ q перебувають у відношенні суперечності.
70.Опишіть процедуру використання методу резолюцій Куайна і методу зведення до нормальних форм для:
(а) встановлення виду формул.
(б) встановлення відношень логічного слідування, рівносильності, сумісності між формулами логіки висловлювань.
(в) вирішення завдань із вправи (55).
71. Яка мета і сутність застосування нормальних форм у логіці висловлювань?
72. Зазначені формули зведіть до КНФ і ДНФ:
(а) ~(р & (q v ~ r)).
(б) р v ~ (q v r).
(в) ~ ((~ р & ~ q) v (~ r & d)).
(г) p & ~ (r v d) & q.
(д) (р v q) É ((q & ~ r) É p).
(e) (p É q) É (~ q É (p v r)).
(є) (рÉ r) É ~ (q É (q v r)).
73. За допомогою методу зведення до нормальних форм встановіть вид
формул:
(а) (р É q) É (~ p v q).
(б) (р É r) É ((p v q) É r).
(в) ~ [((p v q) É r) É (~ r É ~ p)].
(г) ((p & q) É r) É (q É r).
(д) (р É q) É ((p v r) É (q v r)).
74. За допомогою методу зведення до нормальних форм встановіть чи є формула виконуваною:
(а) ((p v q) É r) É (~ r É ~ p).
(б) ((p & q) É r) É (q É r).
74. Наведіть приклади міркувань природної мови, які „рухаються” згідно із відомими вам схемами правильних міркувань логіки висловлювань.
75. Визначіть, які міркування (серед запропонованих) будуть правильними, за умови істинності імплікативного засновку „Якщо він не знає логіки, то він не зможе вирішити це практичне завдання”:
(а) „Він не знає логіки. Отже, він вирішить це практичне завдання”.
(б) „Він вирішив це практичне завдання. Отже, він знає логіку”.
(в) „Він не знає логіки. Отже, він не вирішить цього практичного завдання”.
(г) „Він не вирішив цього практичного завдання. Отже, він не знає логіки”.
76. Доведіть, що:
(а) схеми стверджувально-заперечного модусу розділово-категоричних виводів, за умови використання слабкої (нестрогої) диз'юнкції, не відтворюють структуру правильних міркувань;
(б) схеми складних конструктивних і деструктивних дилем, за умови використання строгої диз'юнкції, не відтворюють структуру правильних міркувань.
77. Встановіть, які умовні (імплікативні) висловлювання-засновки необхідно додатково сформулювати, аби міркування „ ~ р v q, отже r v s ” було правильним. Відповідь обгрунтуйте.
78. За допомогою різних методів доведіть, що відомі вам схеми правильних міркувань логіки висловлювань дійсно є правильними.
79. Спробуйте вирішити декілька завдань вправи (55), використовуючи схеми правильних міркувань логіки висловлювань, а також (за необхідності) метод рівносильних перетворень.
ТЕМА 3
Семінар 6 (2 год.)
1. У чому полягає специфіка логіки предикатів по відношенню до логіки висловлювань?
2. Охарактеризуйте алфавіт мови логіки предикатів.
3. Охарактеризуйте поняття „ терм” і „ предикат”.
4. Яким чином відрізняють індивідні константи від індивідних змінних?
5. Що таке атомарна (елементарна) формула?
6. Що таке пропозиційна форма? В яких випадках атомарна (елементарна) формула є символічною репрезентацією (а) сингулярного висловлювання? (б) пропозиційної форми?
7. Охарактеризуйте квантори загальності та існування.
8. Охарактеризуйте взаємозв'язок кванторів загальності та існування.
9. Використовуючи правила заперечення кванторів, сформулюйте висловлювання, що суперечать зазначеним:
(а) „Існує найбільше просте число”;
(б) „Всі студенти складають іспити”;
(в) „Деякі потяги не запізнюються”;
(г) „Жодна гіпотеза, що виникає на студентських семінарах, не має наукової цінності”.
10. Що в логіці предикатів вважають формулою?
11. Які входження змінних у формули логіки предикатів називають зв'язаними і вільними?
12. Для кожного квантора визначте область його дії; для кожної змінної вкажіть її вільні та зв'язані входження.
(а) "х(Рх É Qx);
(б) "x(Рх É Qx) & $уRхy;
(в) "x((PxÉQy) v $ yRxy);
(г) $x"у(Gxy v «xPyxz);
(д) "х(РхÉ $у(Qy & Rxy));
(е) "х"уРху É Qxz.
13. Охарактеризуйте поняття „ закрита формула ” і „ відкрита формула ”.
14. Визначте, які із перелічених виразів є формулами логіки предикатів. Після цього встановіть формули, що є символічними записами висловлювань, і формули, що є символічними записами пропозиційних форм. Поясніть свій вибір.
(а) $x1P12 x1x2 É "x2(P11x2 v P12x1x2);
(б) "x1P12 x1 v Q12x1x2;
(в) "x1$x2(P12x1x2 & ("x2Q11x2 v (P11a1 É ~ Q22x1a2)));
(г) "x1 É (P11a v Q11x1).
15. Яку ситуацію називають колізією змінних?
16. Яким чином квантори загальності та існування можна тлумачити за допомогою логічних сполучників кон'юнкції і диз'юнкції?
17. Охарактеризуйте універсальне та екзистенційне розширення формул логіки предикатів.
18. Сформулюйте розширення наведених формул (1)-(10) для універсумів U: а) {а}; б) {a, b}; в) {a, b, c}.
(1) "xKx;
(2) $хКх & Р;
(3) "хKx É $xGx;
(4) "x(Gx«P) v "хНх;
(5) На v $хGх;
(6) $x(Kx v Hx);
(7) "хКх «$х(Кх & ~Нх);
(8) ~"x(Kx & Gx);
(9) ~"хКx & ~"xGx;
(10) ~("xGx «$ x(Hx & ~Kx)).
19. Серед запропонованих двох множин висловлювань української мови і формул логіки предикатів відшукайте відповідні пари коректних перекладів:
(а) „Всі судді — юристи” (Gx, Lx);
(б) „Деякі юристи — шахраї” (Sx);
(в) „Жодний суддя не є шахраєм”;
(г) „Деякі судді — старі за віком, проте — жваві” (Ох,Vx);
(д) „Суддя Джонс не старий і не жвавий” (j);
(е) „Не всі юристи — судді”;
(є) „Деякі юристи, що є політиками, — члени парламенту” (Рх,Сх);
(ж) „Жоден член парламенту не є жвавим”;
(з) „Всі старі члени парламенту — юристи”;
(и) „Деякі жінки водночас є юристами і членами парламенту” (Wx);
(і) „Жодна жінка не є водночас політиком і хатньою господинею” (Hx),
(ї) „Деякі жінки-юристи є хатніми господинями”;
(й) „Всі жінки-юристи обожнюють якогось суддю” (Аху);
(к) „Деякі юристи обожнюють лише суддів”;
(л) „Деякі юристи обожнюють жінок”;
(м) „Деякі шахраї не обожнюють жодного юриста”;
(н) „Суддя Джонс не обожнює жодного шахрая”;
(о) „Існують як юристи, так і шахраї, що обожнюють суддю Джонса”;
(п) „Тільки судді обожнюють суддів”;
(р) „Всі судді обожнюють лише суддів”.
***
(а) $x(Wx& Сх& Lx);
(6) ~Oj &~Vj;
(в) "х(Gx É ~Sx);
(г) $x(Wx &Lx & Нх);
(д) "x(Ajx É ~ Sx);
(е) "x(Gx É Lx);
(є) ~"x(Lx É Gx);
(ж) "x((Cx & Ox) É Lx);
(з) $x(Lx & Sx);
(u) $x(Lx & Px &Cx);
(і) "x(Wx É ~(Px & Hx));
(ї) "x(Cx É ~"x);
(й) $x(Gx & Ox & Vx);
(к) "x"y((Ayx & Gx) É Gy);
(л) $x(Sx & " y(Axy É ~Ly));
(м) $х$у(Lx &Sy & Axj & Ayj);
(н) "x((Wx & Lx) É $ y(Gy & Axy));
(o) $x(Lx & $y(Wy & Axy));
(n) "x(Gx É " y(Axy É Gy));
(p) $x(Lx & " y(Axy É Gy)).
20. Здійсніть переклад висловлювань за допомогою багатомісного предиката:
(а) „Андрій шанує Олега”;
(б) „Хтось шанує Олега”;
(в) „Андрій шанує когось”;
(г) „Олег шанує усіх”;
(д) „Усі шанують Олега”;
(е) „Хтось шанує когось”;
(є) „Дехто шанує усіх”;
(ж) „Усі шанують когось”;
(з) „Кожен шанує кожного”;
(и) „Кожен шанує себе”;
(і) „Дехто шанує себе”;
(ї) „Ніхто не шанує себе”;
(й) „Дехто не шанує себе”;
(к) „Дехто не шанує нікого”.
21. Здійсніть переклад висловлювань на мову логіки предикатів:
(а) „Всі олені - ссавці”;
(б) „Деякі акули - безпечні”;
(в) „Жодна риба не є теплокровною”;
(г) „Не всі риби безпечні”;
(д) „Рептилії і амфібії не є теплокровними”;
(е) „Деякі примати і гризуни живуть на деревах”;
(є) „Тільки птахи літають”;
(ж) „Серед павуків лише тарантули і чорні вдови отруйні”;
(з) „Всі сумчасті (і тільки вони) мають ‘кишеню’ ”;
(и) „Деякі організми є хребетними, а деякі - молюсками, але жодний орга
нізм не є хребетним і молюском водночас”;
(і) „Ніхто, окрім двоногих, не є розумним”;
(ї) „Тварини поводяться спокійно, якщо за ними не слідкують”;
(й) „Тварини поводяться спокійно, тільки якщо за ними не слідкують”;
(к) „Деякі акули - безпечні риби, але не всі безпечні риби є акулами”;
(л) „Якщо Фліпер - дельфін і всі дельфіни ссавці, тоді Фліпер - ссавець”;
(м) „Жодний горобець не будує гнізда, доки не знайде собі пару”;
(н) „Жодний хижак не є травоїдним”;
(о) „Ссавець із крилами - це летюча миша”;
(п) „Ссавець, що має крила - літає”;
(р) „Жодна риба не має крил, якщо вона не належить до сім'ї Exocoetidae”;
(с) „Жодний беззубий організм не є хижаком”;
(т) „Не всі хижаки - м'ясоїдні”;
(у) „Існує рептилія, яка менша за собаку, але більша за кота”;
(ф) „Деякі риби плавають повільніше, ніж люди”;
(х) „Існує така мавпа, яка доглядає за всіма (і лише такими) мавпами, що самі
за собою не доглядають”.
Семінар 7 (2 год.)
22. Встановіть, чи будуть формули (1)-(10) із вправи 18 істинними за умови інтерпретацій:
(а) U: {а}, К: {a}, G: {}, H: { }, Р- хибне;
(б) U: {a, b}, K: {a}, G: {а, Ь], Н: { }, Р- істинне;
(в) U: {а, Ь, с}, К: (a, b, c}, G: {a, b}, H: {b}, P- хибне.
23. Яку формулу логіки предикатів вважають загальнозначущою?
24. Здійсніть символізацію зазначених міркувань за допомогою мову логіки предикатів і, використовуючи метод аналітичних таблиць, доведіть, що міркування є правильними:
(а) „Том - кіт. Усі коти - розумні. Отже, Том - розумний” (‘m’, ‘B’, ‘D’);
(б) „Том - розумний. Жодний кіт не є розумним. Отже, Том - не кіт”;
(в) „Том - не кіт. Лише коти віддані. Отже, Том - не відданий”;
(г) „Усі лікарі-чоловіки - дбайливі. Василь - не дбайливий. Василь - чоловік. Отже, Василь - не лікар”. (‘M’, ‘N’, ‘S’, ‘n’).
(д) „Усі французи, за виключенням мешканців Парижа, люб'язні.
Жак - француз. Жак - не люб'язний. Отже, Жак - мешканець Парижа” (‘G’, ‘Р’, 'K’, ‘a’).
25. (1) За допомогою методу аналітичних таблиць доведіть:
(а) ["x(Kx É Gx) & "x(Gx É ~Hх)] |= "x(Kx É ~Нх);
(б) ["x(Kx É ~Gx) & "x(Hx É Gх)] |= "x(Kx É ~Нх);
(в) ["x(K xÉ Gx) & "x(Hx É ~Gх)] |= "x(Kx É ~Нх);
(г) ["x(Gx É ~Kx) & "x(Hx É Gх)] |= "x(Kx É ~Нх);
(д) "х(Кх É Gx) |= ("хKx É "xGx);
(е) ["х((Кх v Gx) É Нх) & " х~Нх] |= "х~Кх.
(2) Для кожного із наведених нижче міркувань виберіть (серед запропонованого у п.(1) переліку) певну формулу, яка відповідає його логічній формі:
(а) „Жодний німець не є французом. Всі баварці - німці. Отже, жодний француз не є баварцем”;
(б) „Жодний француз не п'є пиво. Всі баварці п'ють пиво. Отже, жодний француз не є баварцем”;
(в) „Усі баварці п'ють пиво. Жоден француз не п'є пиво. Отже, жодний баварець не є французом”;
(г) „Усі німці - патріоти. Жодний патріот не є нещирим. Отже, жодний німець не є нещирим”.
26. Здійсніть символізацію зазначених міркувань за допомогою мову логіки предикатів і, використовуючи метод аналітичних таблиць, доведіть, що міркування є правильними:
(а) „Якщо кожний розумний філософ - цинік і лише жінки є розумними філософами, то тоді, якщо існують розумні філософи, деякі жінки - циніки”.
(б) „Деякі республіканці люблять усіх демократів. Жоден республіканець не любить жодного соціаліста. Отже, жоден демократ не є соціалістом”.
(в) „Якщо йде дощ, жодна пташка не є щасливою. Якщо йде сніг, деякі пташки - щасливі. Отже, те, що сніг не йде, є необхідною умовою для того, щоб йшов дощ” (позначте ‘дощ іде’ пропозиційною змінною p, а ‘сніг іде’ - q).
27. Доведіть, що:
(а) ~"х(Кх É Gx) & "х(Нх É Gx) |= $х~Нх;
(б) "x(Kx É p) & ~p |= "х~Kх;
(в) "x(Hxz É Нах) & Наz |= Наа;
(г) "х(Кх «Gx) & Ga |= $уКу;
(д) "x(Kx «Gx) & ~$y~Gy |= Kb;
28. Доведіть, що запропоновані вирази не будуть правильними (побудуйте розширення кванторних формул для універсуму U:{а,Ь} і знайдіть відповідні контрмоделі):
(1) "xKx É"xGx |="x(Kx É Gx);
(2) $хКх É $ xGx |= "х(Кх É Gx);
(3) $хКх & $ xGx |= $х(Кх & Gx);
(4) $х(Кх v Gx) |= "xKx v "xGx;
(5) $х(Кх É Gx) |= $хКх É $xGx;
(6) $х(Кх É Gx) |= "хКх É "xGx;
(7) "xKx «"xGx |="x(Kx «Gx);
(8) $xKx «$xGx |="x(Kx «Gx);
(9) "xKx «p |= "x(Kx «p);
(10) $xKx «p |= "x(Kx «p);
(11) $x(Kx «p) |= $xKx «p;
(12) $x(Kx «p) |= "xKx «p.
29. Встановіть правильність міркування:
(а) „Кожний лінгвіст зневажає деякого філософа, який критикував Хомського. Хомський — лінгвіст. Кожний філософ, який критикував лінгвіста — позитивіст. Отже, кожний лінгвіст зневажає деякого позитивіста”.
(б) „Існує хтось, хто готовий заплатити за всі квитки. Отже, за кожний квиток хтось готовий заплатити” (позначення: ‘бути людиною’ - Р, ‘бути квитком’ - В, ‘х готовий заплатити за у’ - Gxy).
(в) „Кожний, хто купив квиток, отримує премію. Отже, якщо премій немає, то ніхто не купував квитки” (позначення: ‘бути квитком’ - G, ‘бути премією’ - Р, ‘х купує у’ - Вху, ‘х отримує у’ - Rxy).
(г) „Усі вівці тварини. Отже, усі голови овець є головами тварин” (позначення: ‘бути вівцею’ - Р, ‘бути твариною’ - G, ‘х є головою у’ - Нху).
(д) „Кит — ссавець. Деякі риби — ссавці. Усі риби мають хвіст. Отже, деякі хвости риб є хвостами ссавців” (позначення: ‘а є хвостом b’ - Hab).
(е) „Якщо кожний розмовляє із кожним, тоді хтось познайомив їх. Ніхто' не знайомить будь-кого із будь-ким, якщо він' їх обох не знає. Кожен розмовляє з Остапом. Отже, кожного знайомить з Остапом хтось, хто його (Остапа) знає” (позначення: ‘а знайомить b і с’ - IаЬс, ‘а розмовляє із b’ - Pab, ‘а знає b’ - Gab, ‘Остап’ – m).
30. Користуючись предикатом тотожності, символізуйте висловлювання:
(а) Наявні принаймні три помилки.
(б) Наявні щонайбільше три помилки.
(в) Наявні точно три помилки.
(г) Більше двох людей помітили помилку.
(д) Усі, за виключенням Андрія, пішли.
(е) Ніхто, окрім Юрія, не знає.
(є) Андрій співав, а хтось інший (хтось іще) роздивлявся навкруги.
(ж) Петро поважає тільки себе.
(з) Петро поважає якусь іншу людину.
(и) Лише Еверест варто підкорювати.
(і) Людей, які люблять тільки себе, не люблять інші люди.
31. Символізуйте запропоноване міркування і за допомогою методу аналітичних таблиць доведіть його правильність: «Існує щонайбільше дві розумні людини і принаймні два генії. Усі генії розумні. Отже, є точно дві розумні людини».
32. Доведіть, що відношення не може бути:
(а) інтранзитивним і рефлексивним;
(б) асиметричним і нерефлексивним;
(в) транзитивним, рефлексивним і асиметричним;
(г) транзитивним, несиметричним і іррефлексивним.
ТЕМА 4
Семінар 8 (2 год.)
1. Які висловлювання (і чому) називають „ категоричними” („атрибутивними”, „асерторичними”, „немодалізованими”)?
2. Визначіть, які вирази (серед запропонованих) є категоричними висловлюваннями:
(а) „Котра година?”;
(б) „Цей хлопець не має ніякої суспільної вартості, він просто індивід”;
(в) „Усі люди є вільні і рівні у своїй гідності та правах”;
(г) „В салоні літака палити заборонено”;
(д) „Прошу вибачення”;
(е) „Знайди свій власний світ”;
(є) „Бог не без милості, а козак не без долі”.
3. Охарактеризуйте структурну будову простих категоричних висловлювань. Наведіть відповідні приклади.
4. Які існують види простих категоричних висловлювань?
5. До якого типу простих категоричних висловлювань (А, Е, І, О) належать висловлювання:
(а) „Існують посмішки, що заставляють бліднути”;
(б) „Жодна робота, в якій відсутні нові ідеї, не заслуговує на премію”;
(в) „Не все є золотом, що блищить”;
(г) „Надія помирає останньою”;
(д) „Інколи потяги запізнюються”;
(е) „Усі щасливі люди – добрі”.
6. За допомогою діаграм Венна зобразіть відношення між S i P у висловлюваннях А,Е,І,О.
7. Для пунктів (1)-(7) запропонованої діаграми сформулюйте відповідні твердження:
(1) Предмети, які є Р, але не є S і не є М;
(2) Предмети, які є Р і S, але не є М;
(3)..........
(4)..........
(5)..........
(6)..........
(7)..........
(8)..........
8. За допомогою діаграм Венна виразіть:
(а) Щось є D і не є С;
(б) Лише D є С;
(в) Ніщо не є D і щось є С;
(г) Щось не є С і не є D;
(д) Ніщо не є не-С і не є не-D;
(е) Усе є або D, або С;
(є) Усе є або D, або С і ніщо не є одноразово
