Если функция дифференцируема в точке , то её приращение может быть представлено в виде:
, где при .
Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции: . В частности, для функции имеем , т.е. дифференциал независимого переменного совпадает с приращением . Поэтому дифференциал функции записывается в виде . Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменная является функцией от новой независимой переменной (свойство инвариантности формы первого дифференциала).
Для функции одной переменной существование в точке её дифференциала и производной равносильны.
Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т. е. . В общем дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. .
Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .
Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:
, где .
Чем меньше значение , тем точнее приближённая формула.
5.97 Найти приращение и дифференциал функции соответствующие значению аргумента и двум различным приращениям аргумента
5.98 Какое приращение получает функция при переходе независимой переменной от значения к значению . Каково значение соответствующей линейной главной части? Найти отношение второй величины к первой.
5.99 Найти приращение и дифференциал функции при и Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене приращения дифференциалом.
5.100 Найти приращение и дифференциал площади S квадрата, соответствующие приращению стороны x.
5.101 Найти приращение объема V шара при изменении радиуса R =2 на . Вычислить , если . Какова будет погрешность значения , если ограничиться членом, содержащим в первой степени?
В задачах 5.102-5.113 найти дифференциалы функций:
5.102 . 5.103 .
5.104 . 5.105 .
5.106 . 5.107 .
5.108 . 5.109 .
5.110 . 5.111 .
5.112 . 5.113 .
В задачах 5.114-5.118 найти дифференциалы второго порядка следующих функций:
5.114 . 5.115 . 5.116 .
5.117 . 5.118 .
5.119 Найти приближенное значение функции при .
5.120 Найти приближенное значение функции при
В задачах 5.121-5.126 вычислить приближенно:
5.121 . 5.122 . 5.123 .
5.124 . 5.125 . 5.126 .
§3. Некоторые приложения производной.
3.1. Геометрические приложения производной.
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид: , а уравнение нормали - вид: . Углом между двумя кривыми и в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в точке , тангенс которого вычисляется по формуле: .
В задачах 5.127-5.130 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям в указанных точках.
5.127 а) ;
б) , ; в) , .
5.128 а) ;
б) , ;
в) .
5.129 а) , ; б) , , ;
в) , .
5.130 а) ; б) , , ;
в) , .
5.131. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии:
а) ; б)
5.132 Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.
5.133 В какой точке кривой касательная перпендикулярна к прямой ?
5.134 Найти коэффициенты в уравнении параболы касающейся прямой в точке
5.135 Показать, что касательные к гиперболе в точках её пересечения с осями координат параллельны между собой.
5.136 Составить уравнение нормали к графику функции в точке её пересечения с биссектрисой первого координатного угла.
5.137 Составить уравнение нормали к параболе которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.
5.138 На линии найти точки, в которых касательные к ней параллельны оси абсцисс.
5.139 В каких точках линии касательная к ней параллельна прямой
5.140 Составить уравнение касательной к линии перпендикулярной к прямой
3.2 Механические приложения производной.
Если -функция, описывающая закон движения материальной точки, то первая производная есть скорость, а вторая производная - ускорение этой точки в момент времени (механический смысл первой и второй производных).
5.141 Точка движется прямолинейно по закону Найти скорость и ускорение движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени ?
5.142 Точка движется по прямой так, что ее расстояние S от начального пункта через время t равно .
а) В какие моменты точка была в начальном пункте?
б) В какие моменты ее скорость равна нулю?
5.143 Тело массой 3кг движется прямолинейно по закону S- выражено в сантиметрах, t - в секундах. Определить кинетическую энергию тела через 5 секунд после начала движения в Дж ().
5.144 Угол поворота шкива в зависимости от времени t задан функцией Найти угловую скорость в момент времени
5.145 Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8с. Найти угловую скорость через 32с после начала движения.