Доказательство. 1) Инъективность отображения w

1) Инъективность отображения w.

Пусть точки A, B Î E² таковы, что w(A) = w(B).

Так как совпадают абсциссы точек, то w_x(A_x) = w_x(B_x) и точки A_x и B_x совпадают (так как w_x- инъективна). Так как совпадают ординаты точек, то w_y(A_y) = w_y(B_y) и точки A_y и B_y совпадают (так как w_y - инъективна). Значит, совпадают и точки A и B. (каждая из них - это пересечение одной и той же пары перпендикулярных прямых).

2) Сюрьективность отображения w.

Пусть (x, y) Î R², найдем такую точку A Î E², что w(A) = (x, y).

Существует точка A_x Î (Ox) такая, что w_x(A_x) = x, и существует точка A_y Î (Oy) такая, что w_y(A_y) = y (так как отображения w_x и w_y сюрьективны).

Проведем прямую p₁ через точку A_x перпендикулярную прямой (Ox), через точку A_y - прямую p₂ перпендикулярную прямой (Oy). Точка A - это точка пересечения прямых p₁ и p₂.

Замечание. Так как w - это биективное отображение, то оно обратимо, то есть для каждой пары действительных чисел существует ровно одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Обозначение: вместо записи w(A) = (x, y) мы будем употреблять более распространенную запись A(x, y).