Сумма и произведение событий

事件的发生与总和

2.1. Основы алгебры событий基本事件代数

Пусть событие А ₁ может произойти с вероятностью р или не произойти с вероятностью q = 1-p. Пусть опыт, в котором может появиться событие А ₁, повторяется два раза. Тогда, принимая во внимание правила умножения и сложения вероятностей, можно найти вероятности следующих событий:让事件 А ₁可能发生概率为 р 或者不会发生的概率为 q = 1-p 。进行事件 А ₁的实验，重复两次。那么有以下概率加法与乘法的规则：

А – событие А ₁не произойдет ни разу, ;一次都不发生，

В – событие произойдет только 1 раз, ;只发生一次

С – событие А ₁произойдет 2 раза, ;发生两次

D – событие произойдет хотя бы 1 раз, это событие противоположно событию А, .至少发生一次，这是对立事件。

Пусть теперь опыт, в котором может появиться событие , повторяется три раза. Тогда, принимая во внимание правила умножения и сложения вероятностей, можно найти вероятности следующих событий:现在开始进行事件 А ₁实验，重复三次。那么那么有以下概率加法与乘法的规则：

А – событие не произойдет ни разу, ;一次都不发生

В – событие произойдет только 1 раз, ;只发生一次

С – событие произойдет 2 раза, ;发生2次

D – событие произойдет 3 раза, ;发生3次

E – событие произойдет хотя бы 2 раза, значит оно произойдет или 2 раза или 3 раза, ;至少发生2次，也就是说可能2次可能3次

F – событие произойдет хотя бы 1 раз,это событие противоположно событию А, .至少发生1次，这是对立事件。

Рассмотрим более сложную ситуацию. Пусть событие может произойти с вероятностью или не произойти с вероятностью . Независимо от этого событие может произойти с вероятностью или не произойти с вероятностью . Тогда, принимая во внимание правила умножения и сложения вероятностей, можно найти вероятности следующих событий: 分析更复杂的情况。让事件 发生概率为 或者不发生概率为 。独立事件 发生概率为 或者不发生概率为 ，那么

А – ни одно из событий и не произойдет, ;没有任何事件发生

В – произойдет только одно событие или , ;只有其中一种发生

С – произойдут оба события и , ;两种同时发生

D – произойдет хотя бы одно событие или , или оба вместе, это событие противоположно событию А, .至少发生其中一种，或者同时发生，这是对立事件。

2.2. Решение типового задания по теме
«Сумма и произведение событий»

例题解答

Задание № 2. Студент может получить на экзамене пятерку с вероятностью 60%, четверку – с вероятностью 30% и тройку с вероятностью 10%. Студенту надо сдать 3 экзамена. Найти вероятности событий:学生在考试中可能获得5分的概率为60%，得4分概率为30%，得3分概率为10%。学生需要参加3门考试。求事件概率：

А – студент получит все пятерки;全部得5分

В – студент получит ровно 2 пятерки; 2个5分

С – студент получит ровно 1 пятерку;1个5分

D – студент получит хотя бы 1 пятерку;至少1个5分

Е – студент получит хотя бы 2 пятерки;至少2个分

F – студент получит все разные оценки;不同分数

G – студент получит две пятерки и четверку;2个5分和1个4分

Н – студент получит тройку на первом экзамене, четверку – на втором и пятерку на третьем.第一门3分，第二门4分，第3门5分。

Решение. Обозначим: p ₁ = 0,6 – вероятность получить пятерку; = 1 – 0,6 = 0,4 – вероятность не получить пятерки; = 0,3 – вероятность получить четверку, = 1 – 0,3 = 0,7 – вероятность не получить четверки; = 0,1 – вероятность получить тройку; = 1 – 0,1 = 0,9 – вероятность не получить тройки.

Тогда

;

= 0,432;

=0,288;

;

;

;

.

Вероятность получить пятерку на экзамене достаточно высокая, поэтому, наибольшей будет вероятность события D – получения хотя бы одной пятерки. В то же время, очевидно, что вероятность события F – получения всех различных оценок – в 6 раз больше вероятности более редкого события Н – получения этих же оценок, но в определенном порядке.获得5分的概率是很高的，所以事件D发生的概率最大。

2.3. Задания по теме «Сумма и произведение событий»习题

2.1. На прогулочном корабле 30% немцев, 20% поляков, 10% словаков, остальные – русские. Какова вероятность, что из двоих, прыгнувших в воду:在游船上30%德国人，20%波兰人，10%斯拉夫人，其他是俄罗斯人。求游船上两人中，以下事件概率： А – все представители разных народов,全部都是不同国籍 В – все русские,全部是俄罗斯人 С – все немцы,全部德国人 D – 1 поляк и 1 словак,一个波兰人一个斯拉夫人 Е – первый поляк,第一个是波兰人 F – хотя бы 1 поляк.至少1个波兰人。	2.2. 10% потребителей газировки предпочитают содовую, 20% – спрайт, остальные – лимонную фанту. Найти вероятность, что в компании из 3 друзей предпочитают: 根据统计，10%的弱酸饮料是苏打水，20%雪碧，其他事芬达。求3瓶套装组成的概率： А – хотя бы 1 - содовую,至少1瓶苏打水 В – хотя бы 2 лимонную фанту,至少2瓶芬达 С – менее двух - спрайт,2瓶以下雪碧 D – не более 1 - лимонную фанту,不超过1瓶芬达 Е – все разное,全部不同 F – первый фанту и еще 1 спрайт. 第1瓶芬达和1瓶雪碧。
2.3. 44% доступных в отеле телеканалов – музыкальные, причем каналы случайным образом меняются на кнопках испорченного пульта. Найти вероятности того, что при трех нажатиях кнопки пульта попадешь на музыкальные каналы:44%接收到了频道是音乐台，用遥控器换台，频道设置是随机的。求三次换台，换到音乐台的概率： А –3 раза,3次 В – только 1 раз,1次 С – хотя бы 1 раз,至少1次 D – 1-й и 3-й раз,1次和3次 Е – хотя бы 2-й раз,至少2次 F – ни разу.1次都没有	2.4. Три локатора следят за появлением самолетов. Первый локатор обнаруживает самолет с вероятностью 0,78, второй – 0,67, а третий – 0,41. Найти вероятность того, что самолет будет обнаружен: 三部定位器观测飞机出现情况，第一部检测概率为0,78，第二部检测概率为0,67，第三步检测概率为0,41。求出现飞机检测的概率： А – хотя бы одним из локаторов,至少一部 В – только одним локатором,只有一部 С – хотя бы 2 локаторами,至少两部 D – менее чем 2 локаторами,不到两部 Е – ровно 2 локаторами,正好两部 F – всеми 3 локаторами.三部都检测
2.5. Судно может встать под разгрузку на любой из 4 причалов. К моменту прихода судна 1-ый причал будет свободен с вероятностью 0,9, 2-ой – 0,5, третий – 0,4 и четвертый – 0,2. Какова вероятность, что в момент прихода судна будет свободен:货轮可以停靠在4个码头的其中任意一个，货轮抵达的时刻，第一个码头空闲概率是0，9，第二个空闲是0，4，第四个空闲是0，2，以下情况码头空闲的概率： А – хотя бы один причал,至少1个 В – только один причал,只有1个 С – хотя бы два причала,至少2个 D – хотя бы второй и третий причалы? 至少第二个和第三个	2.6. В лесу 60% хвойных деревьев, остальные – лиственные. Найти вероятность того, что среди трех отобранных деревьев:在树林中有60%是针叶类，其他是宽叶类，求选择3棵树，以下情况的概率： А – все хвойные,全是针叶的 В – все лиственные,全是宽叶的 С – только 1 хвойное,只有1棵针叶 D – только 1 лиственное,只有1棵宽叶 Е – хотя бы 1 хвойное,至少1棵针叶 F – хотя бы 1 лиственное.至少1棵宽叶

2.7. В 17% кусков бисквита – по вишенке, в 34% других кусков - по изюминке. Три подруги взяли по кусочку бисквита. Найти вероятности, что подругам попались куски:蛋糕中17%是樱桃味，34%葡萄干的。取3块蛋糕，可能出现以下情况的概率： А – всем без ягод,全部没有浆果 В – двум с вишенкой,两块樱桃的 С – хотя бы одной с ягодами,至少一块有浆果 D – двум с изюминами, а одной – с вишенкой,两块葡萄干的，一块樱桃的 Е – только одной с ягодами,只有一块浆果的 F – только одной с изюминой, остальным – без ягод.只有一块葡萄干的，其他没有浆果

2.8. Студент получает пятерку с вероятностью 40%, четверку – 50% и тройку с вероятностью 10%. Найти вероятность того, что студент получит в сессию из трех экзаменов:学生得五分概率是40%，四分50%，三分10%。求三科考试学生获得以下分数得概率： А – только одну пятерку,只有1个五分 В – ровно 2 пятерки,正红2个五分 С – хотя бы две пятерки,至少2个五分 D – менее чем 2 пятерки,不到2个五分 Е – более чем 2 пятерки,超过2个五分 F – все пятерки.都是五分

2.09. 37,5% студентов кафедры проходили практику в фирмах, остальные – в госструктурах. Три друга одновременно принесли отчеты по практике. Найти вероятности, что они проходили практику:教研室37，5%的学生在公司实习，其他在国家机构。3个学生叫来实习报告。求他们实习出现以下情况的概率： А – все в фирмах,都爱公司 В – все в госструктурах,都在国家机构 С – хотя бы 1 в госструктуре,至少1个在国家机构 D – хотя бы 1 в фирме,至少1个在公司 Е – не более двух в госструктурах,不超过2个在国家机构 F – только 1 в фирме.只有1个在公司

2.10. 50% полевых цветов желтого цвета, 30% – белого, остальные другой гаммы. Найти вероятность того, что среди двух взятых из букета цветов будет:野花中有50%是黄色的，30%是白色的，其他是别的颜色。求两束野花中以下情况的概率： А – оба желтых,都是黄色 В – оба белых,都是白色 С – оба другой гаммы,都是其他颜色 D – хотя бы один желтый,至少一束黄色 Е – хотя бы 1 белый, 至少一束白色 F – нет желтых.没有黄色

3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
И ФОРМУЛА БАЙЕСА

全概率公式和贝叶斯公式

3.1. Основы экспертного оценивания 基本评估

Пусть относительно наступления события А можно выдвинуть n попарно несовместных гипотез ... , априорные вероятности которых известны: ..., . Обычно предполагают, что гипотезы образуют полную группу, т.е. выполняется условие让事件A相对抽出n对不相容的假设为 ... ,先期已知的概率为 ..., ，一般假定组成完整分组，满足下面条件：

... . (3.1)

Событие А может наступить только вместе с одной из гипотез, причем известны условные вероятности наступления этого события ..., . Тогда вероятность наступления события А может быть вычислена по формуле полной вероятности: 事件A发生出现一种假定的概率为 ..., ，那么发生事件A的全概率可根据公式得出：

...

+ . (3.2)

Пусть событие А произошло. Тогда можно переоценить вероятности гипотез, которые приводят к появлению этого события. Апостериорные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса: 让事件A发生，那么可以假定发生的概率。实际发生的概率可以根据贝叶斯公式求得：

, , (3.3)

где вычисляется по формуле полной вероятности (3.2).

Если событие А не произошло, это означает, что произошло противоположное событие . Его вероятность находится по формуле полной вероятности, аналогичной (3.2). При этом вероятности гипотез не меняются, а условные вероятности наступления события находятся по формуле вероятности противоположного события: 如果事件A没有发生，这意味着发生对立事件A，它的概率可根据全概率公式得到。这个情况下假定不发生变化，那么事件A发生的条件可根据对立事件公式得出：

.

Апостериорные вероятности гипотез находятся по формуле Байеса, аналогичной (3.3).

3.2. Пример решения типового задания по теме
«Формула полной вероятности и формула Байеса»例题解答

Задание № 3. На курсе 120 студентов обучаются по направлению подготовки «Регионоведение», 70 – «Реклама». Абсолютная успеваемость студентов – регионоведов составляет 85%, студентов-рекламщиков – 55%. 《区域学》有120名学生，《广告学》有70名。顺利结束学业的学生《区域学》85％，《广告学》55%。

1. Какова вероятность, что случайно выбранный студент данного курса – успевающий?随机抽取到顺利结业学生的概率

2. Найти вероятность, что этот студент обучается по направлению подготовки «Реклама». 求抽取到《广告学》学生的概率

Решение. Событие А – выбранный студент успевающий. Выбранный студент может обучаться по одному из двух направлений подготовки, т.е. рассматриваем две гипотезы:事件A－顺利结业，所选学生可以学习其中一个方向，那么分析两种情况

– студент обучается по направлению «Регионоведение»,学生学习《区域学》

– студент обучается по направлению «Реклама».学生学习《广告学》

Тогда вероятности гипотез равны процентным долям студентов этих направлений относительно общего числа студентов курса. На курсе учится 120 + 70 = 190 студентов. Поэтому вероятности гипотез можно вычислить так:那么概率等于学习各专业方向除以总人数。总人数味190人，所以：

, .

Заметим, что выполняется условие (3.1), что делает возможным впоследствии применять формулу Байеса. Действительно 如果满足（3.1）的条件，就可以使用贝叶斯公式。

.

Вероятность того, что студент-регионовед успевает равна 85%, т.е.

. Аналогично для студента-рекламщика .

Тогда вероятность того, что выбранный студент успевающий, можно найти по формуле полной вероятности (3.2): 所选顺利结业学生的概率，可以用全概率公式求得：

.

Значит, абсолютная успеваемость студентов курса составляет примерно 74%. 也就是说整个年级学生合格率为74%.

Найдем вероятность того, что выбранный случайным образом студент обучается по направлению «Реклама». Применяем формулу Байеса (3.3): 求随机抽取的学习《区域学》的学生概率，可通过贝叶斯公式求得：

.

Вероятность составляет примерно 27%. Это немного, и вполне укладывается в представления житейской логики – действительно, и студентов-рекламщиков на курсе меньше и доля успевающих среди них ниже, чем среди регионоведов.

概率大约是27%，这个概率不大，也是遵循逻辑可信的，那么年级中广告学学生更少，并且顺利结业的学生也更少。

3.3. Задания по теме «Формула полной вероятности
и формула Байеса»习题

3.1. В магазине марокканских мандаринов в 3 раза больше, чем турецких. Вероятность порчи марокканских мандаринов – 20%, а турецких – 35%.在商店中摩洛哥橘子是土耳其橘子的三倍，有20%的摩洛哥橘子坏掉，35%的土耳其橘子坏掉。 1. Найти вероятность, что случайно взятый мандарин – качественный.求拿到没坏掉的橘子的概率。 2. Какова вероятность, что этот мандарин – турецкий? 拿到土耳其橘子的概率。	3.2. В студенческой группе парней в 3 раза больше, чем девушек. Парни пропускают 50% занятий, а девушки – только 10%.在班级中男生数量是女生的3倍，5男生出勤率50%，而女生只有10%。 1. Найти вероятность, что случайно выбранный при проверке студент отсутствует на занятии.求随机抽查时旷课学生的概率。 2. Какова вероятность, что это парень?抽查到男生的概率。
3.3. На диване 9 подушек, из них 3 жесткие. Вероятность спать со снами на мягкой подушке – 70%, на жесткой – 40%. Каждую ночь подушка выбирается случайно.在沙发上有9个枕头，其中有3个硬的。睡觉时睡软枕头做梦的概率时70%，硬枕头时40%。每个晚上选什么枕头时随机的。 1. Какова вероятность увидеть сон?求做梦的概率。 2. Какова вероятность, что при этом выбрали жесткую подушку?选到硬枕头的概率。	3.4. Вероятность увидеть ночью добрый или дурной сон равная. Вероятность запомнить добрый сон 75%, а дурной – 15%.晚上做噩梦和做美梦的概率是一样的。记住美梦的概率是75%，记住噩梦的概率是15%。 1. Какова вероятность запомнить сон?求记住梦的概率。 2. Найти вероятность, что при этом сон – добрый.求做美梦的概率。

3.5. В обменных группах в России 75% студентов из Финляндии, 20% из Германии и 5% из Китая. Финны заболевают в Санкт-Петербурге с вероятностью 5%, немцы – 50%, а китайцы – 60%. 在俄罗斯的交换学生中有75%来自芬兰，20%来自德国，5%来自中国。在圣彼得堡生活生病的概率是：芬兰学生5%，德国学生50%，中国学生60%。 1. Найти вероятность, что случайно выбранный студент, приехавший в Санкт-Петербург по обмену заболеет.求随机选取的生病学生的概率。 2. Какова вероятность, что это немец?选到德国学生的概率。	3.6. У бабушки 6 серых, 4 черных и 2 рыжих кота. Серые коты воруют мясо с вероятностью 20%, черные – 50%, а рыжие – 90%. Ночью один из котов случайно пробрался на кухню.奶奶有6只灰色的猫，4只黑色的，2只土黄色。灰色的有20%的概率偷肉，褐色的有50%的概率，土黄色有90%的概率。半夜有一只猫进了厨房。 1. С какой вероятностью мясо будет украдено?肉被偷的概率。 2. Какова вероятность, что это сделал черный кот?求肉被黑猫偷走的概率。
3.7. Фирма выполняет 5% крупных проектов, 40% средних и 55% мелких. Вероятность серьезных ошибок в мелком проекте 10%, в среднем – в 2 раза выше, а в крупном – в 4 раза выше.公司完成5%的大型项目，40%的中等项目，55%的小项目。小项目出现严重错误的概率是10%，中等项目高两倍，大型项目高四倍。 1. Найти вероятность, что в случайно проверенном проекте оказалась ошибка.求随机检查出错误的概率。 2. Какова вероятность, что это крупный проект?求随机抽到大型项目的概率。	3.8. В художественной галерее 20% картин XVIII века, 40% – XIX века, а остальные – XX века. Среди картин XVIII века 80% подделок, среди картин XIX века – 40%, а среди картин ХХ века – 5%. Купили 1 картину.在画廊有20%的油画是18世纪的，40%是19世纪的，其他事20世纪的。在18世纪油画中80%是赝品，19世纪中40%是赝品，20世纪中5%是赝品。随机买一幅油画。 1. Найти вероятность, что она подлинная.求买到真迹的概率。 2. Какова вероятность, что это оказалась картина XVIII века?求买到18世纪油画的概率。
3.9. В группе студентов программы «Международный семестр» 10 финнов, 5 немцев, 4 австрийца и 2 чеха. Финны пропускают занятия с вероятностью70%, немцы – 15%, австрийцы – 20% и чехи – 40%.在国际交流学期项目班，有10名芬兰学生，5名德国学生，4名奥地利学生，2名捷克学生。芬兰学生旷课概率是70%，德国15%，奥地利20%，捷克40%。 1. С какой вероятностью случайно разыскиваемый студент пропустил занятия?随机抽到旷课学生的概率。 2. Какова вероятность, что это чех?求抽到旷课的是捷克学生的概率。	3.10. Преподаватель А спрашивает на экзамене в 3 раза больше студентов, чем В. При этом он ставит двойку с вероятностью 70%, а преподаватель В – с вероятностью 20%. 教师A在考试中提问的数量是教师B的3倍。教师A给不及格的概率是70%，教师B是20%。 1. С какой вероятностью случайно выбранный студент получит положительную оценку?随机抽到学生通过考试的概率。 2. Какова вероятность, что эту оценку поставил преподаватель А?随机抽到学生是由教师A通过考试的概率。

4. РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

随机变量及其分布