Основные определения

基本概念

1. Событие называется случайным, если при неоднократном воспроизведении условий оно происходит каждый раз по-разному. Например, при подбрасывании монеты может выпасть картинка или цифра. Случайные события обозначаются прописными буквами А, В, С и т.д.

随机事件是指在反复重复的同样条件下，发生结果每次不一定不相同。例如，投掷硬币可能出现图案或数字。随机现象用字母A、B、C等表示。

2. Вероятностью события А называется мера возможности его осуществления. Вероятность обозначается буквой р: Р(А), Р(В) и т.д.

事件的概率是衡量该事件发生的可能性的度量。概率用字母表示为 Р(А), Р(В)。

За 1 принимается вероятность достоверного события, например вероятность выпадения или картинки или цифры при подбрасывании монеты. За 0 принимается вероятность невозможного события, например, выпадение двух картинок при подбрасывании монеты. Поэтому

1表示可能事件的概率，例如，投掷硬币时要么出现图案，要么出现数字，

0 表示不可能事件的概率，例如，投掷硬币时出现两个图案，

Значит, вероятность не может быть больше 1 или меньше 0.

也就是说，概率不可能大于1 或者小于0。

4. Случайной называется величина, которая при появлении случайного события принимает то или иное значение. Например, студент на экзамене может получить оценки «2», «3», «4» или «5» - это значения случайной величины «оценка на экзамене». Случайные величины обозначаются прописными буквами X, Y, Z и т.д.Значения случайных величин обозначаются строчными буквами x, y, z и т.д.

随机变量表示随机现象各种结果的实值。例如，学生在考试中可能得2、3、4、或5分— 这个考试成绩就是变量。我们一般用大写 X, Y, Z 表示随机变量，用小写 x, y, z 表示实数。

5. Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины, определяющее ее положение на числовой оси. Обозначается .

数学期望完全由随机变量的概率分布所确定，用 表示。

6. Дисперсия – это характеристика случайной величины, определяющая распределение ее значений относительно среднего. Обозначается .Следует заметить, что . Если , то величина Х не является случайной.

方差用来度量随机变量和其均值之间的偏离程度。用 表示，需要注意方差 ，如果 ，那么变量X就没有随机性。

1. ВЫБОР на основе классического
определения вероятности

古典概率定义的基本选择

1. 1. Основы выбора на базе классического
определения вероятности

Пусть имеется n элементов, различающихся свойствами или качествами. Причем среди них r элементов одного типа, l элементов другого типа и т.д., q элементов последнего типа, так что выполняется условие 设有 n 个元素，具有不同性质，在其中有 r 个元素是同一类型， l 个元素是另一类型，以此类推， q 个元素是最后一类，那么满足条件

n = r + l + … + q.

Случайным образом отбирают m элементов, причем порядок выбора не важен, важен только состав отобранной группы элементов. Вероятность того, что в отобранной группе оказалось k элементов первого типа, j элементов второго типа и т. д., i элементов последнего типа, так чтобы设随机选择 m 个元素，选择顺序不重要，但选择元素分类重要。那么概率为，第一类 k 个元素，第二类 j 个元素，以此类推，最后一类 i 个元素，那么

m = k + j + … + i,

вычисляется по формуле根据公式计算

, (1.1)

где其中 ‑ число сочетаний из n элементов по m:

. (1.2)

Полезно знать и уметь использовать следующие свойства сочетаний:了解并使用下列属性的组合：

1.

2. (1.3)

3. .

1.2. Решение типовогозадания по теме «Выбор на основе
классического определения вероятности» 解题方法

Задание № 1. В академической группе 10 студентов проживают в Санкт-Петербурге, 7 приехали из других городов России и 3 иностранца. На прием в деканат пришли 5 студентов из этой группы. Найти вероятности событий:在班级中有10名学生住在圣彼得堡，7名来自俄罗斯其他城市，有3名外国学生。在系主任接待时间到来5名学生。求事件概率：

А. Все – из Санкт-Петербурга.全部来自圣彼得堡

В. 2 – из других городов России и 3 иностранца.2名来自俄罗斯其他城市，3名外国学生

С. 3 – из Санкт-Петербурга, 1 – из другого города России и 1 иностранец.3名来自圣彼得堡，1名来自俄罗斯其他城市，1名外国学生

D. Все иностранцы пришли на прием.外国学生都来了

Решение. Поскольку порядок выбора не важен в условиях задачи, то пользуемся формулой (1.1).解题时选择顺序不重要，那么根据公式

Определим значения параметров: n = 20, m = 5, r = 10, l = 7, q = 3.

Найдем Р(А). Изобразим графически схему выбора. В левом блоке – общее число участников выбора (20) и их распределение по трем категориям – жители Петербурга, другие россияне и иностранцы (10 + 7 + 3). Стрелки означают выбор. Стрелка слева направо показывает выбор общего числа, вне зависимости от категорий. Стрелки сверху вниз указывают на конкретный выбор из каждой категории.求概率 Р(А)。 绘制选择图像，左侧总数20，分为3类，彼得堡、俄罗斯其他城市、外国学生（10＋7+3），剪头代表选择，右指剪头表示选择总数，下指剪头表示分类。

20
10	7	3

Тогда параметрызадачи принимают значения: k = 5, j = i = 0.

Тогда

Вычислим

В соответствии со свойствами сочетаний .

Тогда

Найдем Р(В). Изобразим графически схему выбора求概率 Р(В) 可同上绘制选择图像

20
10	7	3

Тогда параметрызадачи принимают значения: k = 0, j = 2, i = 3.

Тогда

Вычислим

В соответствии со свойствами сочетаний

.

Тогда

Найдем Р(С). Изобразим графически схему выбора求概率 Р(C) 可同上绘制选择图像

20
10	7	3

Тогда параметрызадачи принимают значения: k = 3, j = 1, i = 1.

Тогда

Вычислим

В соответствии со свойствами сочетаний .

Тогда

Вычисленные вероятности событий А, В и С вполне подтверждаются обыденной логикой. Например, студенты из Санкт-Петербурга составляют половину всей академической группы и не встретить их около деканата среди других студентов этой группы – маловероятное событие. Действительно, вероятность события В – наименьшая из всех вычисленных, в частности она приблизительно в 160 раз меньше ближайшей к ней по значению вероятности события С. 求事件A、B、C发生的概率有相应的逻辑性。例如，极小可能发生：全部圣彼得堡学生都在系主任接待时间集合而不会遇到其他学生。而发生B的可能性更小，发生C的概率是B的几乎160倍。

Для того, чтобы найти Р(D), необходимо изменить схему выбора. Действительно, на прием в деканат пришли все иностранцы, т.е. 3 из 3. Для ответа на вопрос задачи не важно, какие именно 2 других студента пришли на прием. То есть выбор производится из двух категорий: «иностранцы» и «не иностранцы». 要求得概率D，需要改变绘制图像的结构，当然3明外国学生全部都到，那么就只在两类中选择：外国学生和非外国学生。Поэтому исходные параметры таковы: 所以

n = 20, m = 5, r = 3, l = 17 (количество «не иностранцев» l = 20 – 3 = 17). Графическая схема выбора такова:

20
3	17

Тогда параметрызадачи принимают значения: k = 3, j = 2.

Тогда

Вычислим

В соответствии со свойствами сочетаний .

Тогда

Действительно, выбор всей малочисленной категории с математической точки зрения маловероятен, что и демонстрирует значение вероятности события D. 从数学的角度发生D的可能性最小。

1.3. Задания по теме «Выбор на основе классического
определения вероятности»习题

1.1. В корзине 15 грибов, из них 4 – белых. На суп взяли 8 грибов. Найти вероятности того, что среди них: А – все белые, В – 3 белых, С – 1 белый, D – нет белых. 在篮子中有15个蘑菇，其中有4个白蘑菇。做汤时拿了8个蘑菇。求概率： A－都是白蘑菇， B－3个白蘑菇， C－1个白蘑菇， D－没有白蘑菇。	1.2. На экзамене по курсу – 16 вопросов. Студент знает 10 из них. Каковы вероятности, что в вытащенном на экзамене билете: А – нет знакомых вопросов, В – 1 знакомый вопрос, С – 2 знакомых вопроса, D – все 3 вопроса знакомы. 考试试题共16道试题。学生知道其中十道。求抽取尸体的概率： A－没有知道的， B－1道题知道， C－2道题知道， D－3道题都知道。
1.3. В художественной галере из 10 картин – 6 подделок. Коллекционер случайно выбрал 3 картины. Найти вероятности событий: А – все картины – подделки, В – 1 подлинная и 2 подделки, С – 2 подлинные и 1 подделка, D – все картины подлинные. 在画廊有10幅油画，其中有6幅是赝品。收藏家随机选择3幅，求概率： A－全是赝品， B－1幅真迹2幅赝品， C－2幅真迹1幅赝品， D－全是真迹。	1.4. Среди 8 контрактов фирмы 1 крупный, 3 – средних, остальные – мелкие. Было закончено 4 контракта. Найти вероятности того, что среди готовых контрактов: А – 1 крупный, В – все мелкие, С – 1 крупный, 2 средних и 1 мелкий. 在签署合同的8家公司中，1家大型公司，3家中型公司，其他都是小型公司。现4份合同到期。求现有合同中概率： A－1家大型公司， B－全是小公司， C－1家大型公司、2家中型和1家小型。

1.5. Среди книг 5 детективов, 4 любовных романа и 3 мистики. В дорогу случайным образом взяли 3 книги. Найти вероятности, что среди них: А – все любовные романы, В – все детективы, С – каждого жанра по 1, D – 2 детектива и 1 любовный роман. 在书中有，5本侦探小说，4本爱情小说，3本神话小说。出门时随手拿了3本书，求其中概率： A－全是爱情小说， B－全是侦探小说， C－每种1本， D－2本侦探和1本爱情小说。	1.6. В отделе академических обменов есть 19 вакансий на семестр. Из них 13 – в Финляндию, 4 – в Германию и 2 – в Китай. 5 студентов экономического факультета стали участниками обмена. Найти вероятности, что они поехали учиться: А – все в Финляндию, В – 4 в Финляндию и 1 в Германию, С – 1 в Финляндию, 3 в Германию и 1 в Китай. D – все не в Финляндию. 在校际交换项目中有19个名额，其中13个到芬兰，4个到德国，2个到中国。5名在经济系的学生参加了交换项目，求概率： A－全部去芬兰， B－4个到芬兰1个到德国， C－1个到芬兰3个到德国， D－全部不去芬兰。
1.7. В результате 17 переговоров были заключены 4 сделки, (успешность переговоров 20%). Найти вероятности, что в 5 анализируемых переговорах было заключено: А – 5 сделок, В – 4 сделки, С – 2 сделки. 在17次谈判后，签订了4笔买卖合同，符合20％的谈判成功率，求5次谈判的签订合同的概率： A－5笔买卖， B－4笔买卖， C－2笔买卖。	1.8. На прием к врачу пришли 18 иностранных студентов, из них 10 из Китая, 4 – из других стран Азии, 3 – из Африки, 1 – из Европы. 5 из них были госпитализированы. Найти вероятности, что это: А – все китайцы, В – 2 китайца, 1 другой азиат, 1 африканец и 1 европеец. 医生就诊时间有18名外国学生，其中10名中国学生，4名来自其他亚洲国家，3名非洲学生，1名欧洲学生。有5名学生留院观察。求概率： A－全是中国学生， B－2名中国学生、1名其他亚洲国家，1名非洲学生，1名欧洲学生。
1.9. В репертуаре театра 14 спектаклей, из них 8 – успешных, 2 – средних, остальные – провальные. Купили 4 билета на разные спектакли. Найти вероятности событий: А – все спектакли успешные, В – 2 спектакля успешных, 1 средний и 1 провальный, С – 1 спектакль средний, остальные – провальные. 剧院演出预演信息中共14场话剧，其中8场全部售出，2场可能上演，其他不能上演。购买了4场不同话剧票，求概率： A－全部成功演出， B－2场上演，1场可能上演，1场不能上演， C－1场可能上演，其他不能上演。	1.10. В столовой 4 порций салата с крабами, 3 – греческих, 2 – витаминных. Найти вероятности, что 6 студентов случайно взяли такие салаты: А – все греческие, остальные – витаминные, В – по два каждого вида, С – все витаминные, остальные – с крабами, D – все крабовые и 1 греческий. 食堂有4份蟹肉沙拉，3份希腊沙拉，2份蔬菜沙拉。求6名学生随机拿到以下沙拉的概率： A－全部希腊沙拉，其他蔬菜沙拉， B－每种2份， C－全部蔬菜沙拉，其他蟹肉沙拉， D－全部蟹肉沙拉，1份希腊沙拉。