Так как обкладки конденсаторов соединены, то заряд, появляющийся под действием приложенного напряжения на первом конденсаторе, равен заряду, появляющемуся на втором конденсаторе (явление электростатической индукции). Поскольку заряд связан с емкостью конденсатора и напряжением на нем соотношением q = CU, то мы можем записать
C 1U 1 = C 2U 2.
С другой стороны,
U 1 + U 2 = U.
Решая совместно эту систему уравнений, найдем напряжение на первом и втором конденсаторе
,
.
Подставляя эти значения в формулу для энергии конденсатора, получим
;
.
Подставим значения величин и получим
WЭ1 = 2×10-6 Дж = 2 мкДж, WЭ2 = 1×10-6 Дж = 1 мкДж.
6. Медный проводник (удельное сопротивление меди r = 17 нОм·м) подключен к источнику с ЭДС, e = 4 В. Внутреннее сопротивление источника r = 0,1 Ом. Сечение проводника S = 0,085 мм2, длина l = 9,5 м. Считая, что ток течет по всему поперечному сечению проводника, найти величину напряженности электрического поля внутри него.
Решение
Чтобы найти напряженность электрического поля в проводнике, воспользуемся законом Ома в дифференциальной форме:
|
|
j = sE,
где j – плотность тока; E – вектор напряженности электрического поля; s – электропроводность вещества проводника, равная 1/ r.
Величина искомой напряженности электрического поля в проводнике определяется соотношением:
E = j / s = rj. (1)
Таким образом, задача нахождения напряженности поля сводится к задаче нахождения величины плотности тока j в цепи.
Плотность тока можно найти, если известна сила тока I, протекающего по проводнику
j = I / S. (2)
Полный ток в цепи найдем из закона Ома для полной цепи:
I = e / (R + r), (3)
где r – внутреннее сопротивление источника; R - сопротивление проводника.
Для R справедливо соотношение:
R = rl/S. (4)
Объединяя формулы (1) - (4), окончательно запишем
E = rj = rI / S = re / (R + r)S = re / (rl / S + r)S. (5)
Подстановка в (5) численных данных позволяет написать ответ
Е = 0,4 В/м.
7. Падение напряжения в проводнике, состоящем из двух последовательно соединенных кусков медной проволоки одинаковой длины (l 1 = l 2 = 10 м), но разного диаметра (d1 = 2d2), равно 10 В. Найти удельную тепловую мощность тока во втором куске проволоки. Удельное сопротивление меди r = 17 нОм·м.
Решение
Удельная тепловая мощность тока (плотность тепловой мощности)
w = sE 2 = E2 = rj 2.
Поэтому, чтобы найти w2, необходимо определить две величины: количество теплоты Q2, которое выделяется в более тонком проводнике в единицу времени, и объем этого проводника.
Количество теплоты Q2 можно найти, если учесть, что ток в проводниках один и тот же, а сопротивления проводников отличаются в 4 раза.
.
Согласно закону Джоуля-Ленца, представленному в интегральной форме,
|
|
,
где Q1 – тепло, выделяющееся в единицу времени в более толстом проводнике.
Общая энергия, которая выделяется во всем проводнике, рассчитывается по формуле
, (1)
где U –падение напряжения в проводнике.
Из уравнения (1) следует, что количество теплоты, выделяющееся во втором проводнике в единицу времени,
. (2)
В уравнении (2) все величины, кроме сопротивления второго участка проводника, известны. Однако в знании R2 нет необходимости. Действительно, если связать между собой объем второго проводника с его сопротивлением
,
то нетрудно видеть, что удельная тепловая мощность тока во втором проводнике не зависит от его сопротивления
. (3)
Подставляя в соотношение (3) численные данные, получаем ответ
w 2 = 3,76×10 7 Вт/м3.
8. Заряд сферического конденсатора из-за того, что через диэлектрическую прокладку протекает ток, уменьшается за время t в n раз. Найти удельное сопротивление r прокладки, если ее диэлектрическая проницаемость равна e.
Решение
Сопротивление диэлектрика между обкладками сферического конденсатора можно найти, просуммировав сопротивления сферических слоев толщиной dr, граничащих друг с другом:
, (1)
где a,b – радиусы соответственно внутренней и внешней обкладок сферического конденсатора; e0 – электрическая постоянная; C – емкость сферического конденсатора находится по формуле
.
Из уравнения (1) следует, что для определения величины удельного сопротивления материала прокладки достаточно найти произведение емкости конденсатора на полное сопротивление прокладки:
. (2)
Это можно сделать, если учесть, что за время dt конденсатор теряет заряд:
, (3)
где I – ток утечки. Знак «-» в (3) учитывает тот факт, что заряд конденсатора со временем убывает.
По закону Ома
, (4)
где U – разность потенциалов между обкладками конденсатора,
, (5)
где q – заряд конденсатора.
Объединяя формулы (3) – (5), получаем дифференциальное соотношение, в которое входит искомое произведение CR:
.
После интегрирования получаем
, (6)
где q1 – начальный заряд конденсатора; q2 – конечный.
Подставляя CRиз (6) в (2), окончательно имеем
.