Оценивание коэффициентов КЛММР методом наименьших квадратов

Применяя к (3.1) с учетом (3.2)-(3.5) МНК, получаем из необходимых условий минимизации функционала равенство

,

т.е. обращения в нуль частных производных по каждому из параметров

;

………………………………………………………….

.

Упрощая последние равенства, получим стандартную форму нормальных уравнений, решение которых дает искомые оценки параметров:

(3.6)

Сложность решения системы линейных уравнений (3.6) с неизвестными увеличивается быстрее, чем растет . В зависимости от количества уравнений система может быть решена методом исключения Гаусса или методом Крамера или другим численным методом решения системы линейных алгебраических уравнений.

Поскольку для большинства практических задач изучаются несколько альтернативных спецификаций модели (3.1), то широкое применение ЭВМ, а также специальных статистических пакетов позволяет значительно упростить процедуру оценивания.

В результате решения системы (3.6) получим оценки коэффициентов ,

Возможна и другая запись уравнения (3.1) в так называемом стандартизованном масштабе:

(3.7)

где - стандартизированные переменные:

для которых среднее значение равно нулю:

а среднее квадратическое отклонение равно единице:

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

Установим зависимость между коэффициентами «чистой» регрессии и стандартизованными коэффициентами регрессии Имеем:

причём

Соотношение (3.8) позволяет переходить от уравнения вида (3.7) к уравнению вида (3.1).

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько «сигм» изменится в среднем результат ,если соответствующий фактор изменится на одну «сигму» при неизменном среднем уровне других факторов.

В силу того, что все переменные центрированы и нормированы, коэффициенты , , сравнимы между собой (в этом состоит их отличие от ).Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат, что позволяет произвести отсев факторов - исключить из модели факторы с наименьшими значениями .

Нетрудно показать, что оценки МНК , являются наиболее эффективными (в смысле наименьшей дисперсии) оценками в классе линейных несмещенных оценок (теорема Гаусса-Маркова).

Как было уже указано раньше, достоинством метода множественной регрессии является возможность выделения влияния каждого из факторов ; в условиях, когда воздействие многих переменных на результат эксперимента не удается контролировать. Степень раздельного влияния каждого из факторов характеризуется оценками

Пример 1. Исследуется зависимость между стоимостью грузовой автомобильной перевозки (тыс. руб.), весом груза , (тонн) и расстоянием (тыс. км.) по 20 транспортным компаниям. Исходные данные приведены в таблице 3.1.

				7,5	33,0	26,0	11,5		15,8	8,0
				2,0	14,0	33,0				2,0
		1б11	2,55	1,7	2,4	1,55	0,6	2,3	1,4	2,1
		6,0	5,8	13,8	6,20	7,9	5,4	56,0	25,5	7,1
		11,0		3,5	2,80	17,0	3,4	24,0	9,0	4,5
	1,3	0,35	1,65	2,9	0,75	0,6	0,9	2,5	2,2	0,95

Таблица 3.1

В данном примере имеем пространственную выборку объема , число объясняющих переменных .

Модель специфицируем в виде линейной функции:

(3.9)

Следовательно, система нормальных уравнений для модели (3.9) будет иметь вид

(3.10)

Рассчитаем по данным табл. 3.1 необходимые для составления указанной системы суммы:

Получим систему нормальных уравнений (3.10) в виде:

Решая последнюю систему линейных алгебраических уравнений, например методом Крамера, получим:

Уравнение регрессии имеет вид:

Или, с учетом (3.8) и расчетов:

уравнение регрессии в стандартизованном масштабе примет вид:

То есть с ростом веса груза на одну сигму при неизменном расстоянии стоимость грузовых автомобильных пере возок увеличивается в среднем на 0,77 сигмы. Поскольку 0,77>0,56, то влияние веса груза на стоимость грузовых автомобильных перевозок больше, чем фактора расстояния.

Рассчитаем коэффициенты эластичности

С увеличением среднего веса груза на 1% от его среднего уровня средняя стоимость перевозок возрастет на 0,71% от своего среднего уровня, при увеличении среднего расстояния перевозок на 1% средняя стоимость доставки груза увеличится на 1,05%. Различия в силе влияния факторов на результат полученные при сравнении уравнения регрессии в стандартизованном масштабе и коэффициентов эластичности объясняются тем, что коэффициент эластичности рассчитывается исходя из соотношения средних, а стандартизованные коэффициенты регрессии из соотношения средних квадратических отклонений.

Так как обычно статистики используют показатель грузооборота, вычисляемый как сумма произведений массы перевезенных грузов на расстояние перевозки, то построим регрессию стоимости 1км грузовых автомобильных перевозок на грузооборот

причем регрессор включен исходя из соображений известного экономического закона убывающей предельной полезности, согласно которому в данном случае стоимость перевозки на 1 км должна уменьшаться с ростом грузооборота, т.е. коэффициент при должен иметь (и в построенном уравнении имеет) отрицательный знак.