Уравнение неразрывности либо сплошности выражает один из фундаментальных законов природы - закон сохранения массы применительно к жидкой среде.
Рассмотрим объем V, ограниченный поверхностью S (рис. 4.2). Выделим элемент поверхности dS. Пусть - орт внешней нормали, а - вектор скорости. Через выделенный элемент dS в единицу времени внутрь объема проникает масса жидкости
.
Рис. 4.2 |
(знак минус, т.к. направления и противоположны). Секундная масса, проникающая в объем через всю поверхность,
.
С другой стороны, приток жидкости в объем приводит к изменению ее массы. При этом, поскольку выделенный объем является постоянным, изменение массы может происходить только за счет изменения ее плотности. Скорость изменения массы можно представить как
,
либо с учетом того, что , можно записать
.
Очевидно, что изменение массы внутри объема должно быть равно массе, поступившей в него извне, т.е.
Применяя преобразование Гаусса-Остроградского, получим:
, либо
.
Равенство нулю интеграла возможно лишь при условии
. (4.3)
Это и есть уравнение неразрывности. Поскольку при выводе его не делалось никаких ограничений, то оно справедливо как для установившегося, так и для неустановившегося движений сжимаемой и несжимаемой жидкости. Уравнение (4.3) относится к числу фундаментальных уравнений механики жидкости.
Рассмотрим некоторые частные случаи. При установившемся движении все производные по времени равны нулю, что следует из самого определения этого понятия, поэтому
. (4.4)
Если движение установившееся и жидкость несжимаема, т.е. , то
. (4.5)
Либо в проекциях на декартовы оси координат (см. формулу 1.7)
. (4.6)
Установим физический смысл этого соотношения. Частные производные , , характеризуют скорость относительного удлинения (укорочения) жидкой частицы. Если этот процесс происходит одновременно вдоль всех координатных осей, то он приводит к объемному расширению либо сжатию частицы. Ясно, что если частица удлиняется вдоль осей x и y, то она должна укорачиваться относительно оси z. Другими словами, хотя бы одна из производных, входящих в (4.6), должна быть отрицательна, т.к. в противном случае соотношение не может быть равным нулю.
Как уже отмечалось в 1.1, поле, в котором , носит название соленоидального.