Функцию типа fn: Mn ® M называют n-арной операцией на множестве M.
Бинарная операция f 2 называется коммутативной, если для любых элементов a и b выполняется f 2(a, b)= f 2(b, a); более привычна инфиксная запись af 2 b = bf 2 a.
Операция f 2 называется ассоциативной, если для любых элементов a, b и c выполняется af 2(bf 2 c)=(af 2 b) f 2 c.
Операция f 2 называется дистрибутивной слева относительно операции g 2, если для любых a, b, c выполняется af 2(bg 2 c)=(af 2 b) g 2(af 2 c), и дистрибутивной справа, если (ag 2 b) f 2 c =(af 2 c) g 2(bf 2 c).
Алгеброй A называют совокупность множества M с заданными на нем операциями S ={ f 1, f 2, …}. A =< M, S >, где M – носитель, S – сигнатура алгебры A.
Алгебраическая система отличается от алгебры тем, что на множестве кроме операций задаются еще отношения.
Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем, в которых множество отношений пусто.
Другим частным случаем алгебраических систем являются модели – множества, на которых заданы только отношения.
Алгебра вида A =< M,·>, где · - бинарная операция, называется группоидом.
|
|
Полугруппой называется алгебра A =< M,·> такая, что для любых a, b, c Î M выполняется
a ·(b · c)=(a · b)· с, (1)
т.е. операция · ассоциативна.
Коммутативной (абелевой) полугруппой называется алгебра A =< M,·> такая, что выполняется (1) и для любых a, b Î M выполняется
a · b = b · a, (2)
т.е. операция · коммутативна.
Другими словами коммутативной полугруппой называется полугруппа, в которой выполняется закон коммутативности.
Группой называется алгебра A =< M,·> такая, что
1) выполняется (1);
2) есть e Î M, такой, что для любого a Î M выполняется
e · a = a, a · e = a; (3)
3) для всех a Î M существует такой элемент a ¢Î M, что
a ¢· a = e. (4)
Коммутативной (абелевой) группой называется алгебра A =< M,·> такая, что выполняется (1),(2),(3) и (4).
Другими словами коммутативной группой называется группа, в которой выполняется закон коммутативности.
Если бинарную операцию · называют умножением, то группа называется мультипликативной. В этом случае элемент e называют единицей (обозначение 1), элемент a ¢ называется обратным элементом (обозначение a -1).
Если же групповую операцию · называют сложением, то группа называется аддитивной. В этом случае элемент e называют нулем (обозначение 0), элемент a ¢ называется противоположным элементом (обозначение - a).
Кольцом называется алгебра A =< M, f 2, g 2>, где f 2 - умножение, обозначим *, g 2 –сложение, обозначим +, и выполняются следующие условия:
1) условия (1),(2),(3),(4) относительно операции сложения (в качестве операции · выступает операция +), т.е. кольцо является абелевой группой относительно операции сложения, в нем выполняется: a + (b + c) = (a + b) + c – дистрибутивность сложения, a + b = b + a – коммутативность сложения, 0 + a = a, a + 0= a – есть единственный левый и правый нулевой элемент и эти элементы равны, a + (- a)=0 – каждому элементу найдется противоположный элемент;
|
|
2) условие (1) относительно операции умножения, т.е. кольцо является полугруппой относительно умножения, в нем выполняется a *(b * c)=(a * b)* c – ассоциативность умножения;
3) умножение слева и справа дистрибутивно относительно сложения a *(b + c)=(a * b) + (a * c) и (a + b)* c =(a * c) + (b * c).
Если к перечисленным условиям добавить условие a * b = b * a - коммутативность умножения, то алгебру A =< M,*,+> называют коммутативным кольцом.
Свойства колец:
- для кольца можно ввести операцию вычитания a - b = a + (- b), после этого нуль кольца может быть найден как a + (- a)= a - a =0;
- из закона дистрибутивности следует правило раскрытия скобок (a 0 + a 1 + a 2 + … + an)* b = a 0* b + a 1* b + a 2* b + … + an * b;
- во всяком кольце выполняется закон дистрибутивности и для разности (a - b)* c = a * c - b * c;
- произведение нуля кольца на любой элемент кольца равен нулю a *0= a *(x - x)= a * x - a * x =0, 0* a =(x - x)* a = a * x - a * x =0;
- для каждого кольца справедливо (- a)* b = - a * b, (- a)*(- b)= a * b.
Таким образом, операции в произвольном кольце обладают многими привычными свойствами арифметических операций над числами. Однако есть и отличия. Например, если арифметическое произведение равно 0, тогда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это свойство справедливо не для всех колец. В некоторых кольцах могут быть такие пары a ¹0, b ¹0, что a * b =0. Такие элементы a и b называются делителями нуля.
Полем называют коммутативное кольцо A =< M,*, + >, если оно содержит единицу, отличную от нуля, и ненулевые элементы образуют коммутативную (абелеву) группу относительно операции умножения.