Теорема сложения вероятностей двух совместных событий
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
.
Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
.
Теорема сложения вероятностей п несовместных событий
Вероятность суммы несовместных событий A 1, A 2, …, An равна сумме вероятностей этих событий:
.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
.
Если обозначить , , то формула примет вид:
.
Перед тем как излагать теорему умножения вероятностей, введем еще одно важное понятие – понятие о независимых и зависимых событиях.
Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет.
Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.
Пример 1.28. Опыт состоит в подбрасывании двух монет. Рассматриваются события: A - «появление герба на первой монете», B - «появление герба на второй монете». В данном случае вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет, событие A независимо от события B.
|
|
Пример 1.29. В ящике два белых шара и один черный, два лица вынимают из ящика по одному шару. рассматриваются события: A - «появление белого шара у 1-го лица», B - «появление белого шара у 2-го лица». Вероятность события A до того, как известно что-либо о событии B, равна . Если стало известно, что событие B произошло, то вероятность события A становится равной , из чего заключаем, что событие A зависит от события B.
Вероятность события B при условии, что произошло событие A, называется условной вероятностью события B и обозначается PA (B).
Теорема умножения вероятностей двух зависимых событий
Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:
или
.
Условная вероятность исчисляется по следующей формуле:
.
Теорема умножения вероятностей двух независимых событий
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
P (AB) = P (A) · P (B).
Теорема умножения вероятностей n зависимых событий
Вероятность произведения n зависимых событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступят:
.
События A 1, A 2, …, An называются независимыми в совокупности, если вероятность наступления любого из них не зависит от того, наступила или нет любая комбинация остальных.
|
|
Теорема умножения вероятностей n независимых событий
Если события A 1, A 2, …, An независимы в совокупности, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:
.
Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле
или
.
Если независимые события A 1, A 2, …, An имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой
.
Пример 1.30. В ящике 12 зеленых, 7 черных и 11 синих шаров. Наудачу вынимается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар не зеленый?