Математического программирования в экономике

Математическое программирование – это наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного (или оптимального) управления организационными системами (предприятия, фирмы, банки и др.).

Цель математического программирования – изучение и анализ систем организационного управления, отыскание в них оптимизационных задач, постановка и внедрение которых могут оправдать затраты на создание автоматических систем управления в условиях, когда имеют место ограничения технико-экономического или какого-либо другого характера.

Таким образом, предмет математического программирования – это системы организационного управления (организации), которые состоят из большого числа взаимодействующих между собой подразделений, причем интересы подразделений не всегда согласуются между собой и могут быть противоположными.

Одной из существенных особенностей математического программирования является стремление найти оптимальное решение поставленной задачи, количественно обосновывающее принимаемые решения по управлению организациями.

Оптимальным решением считается такой способ действия, который в наибольшей степени способствует достижению поставленной в задаче цели.

Несмотря на широкий спектр экономических задач, решаемых средствами математического программирования, существует сложившаяся в практике последовательность основных этапов их решения.

Основные этапы решения экономических задач:

- идентификация проблемы (или постановка задачи);

- построение модели;

- решение поставленной задачи с помощью модели;

- проверка адекватности модели;

- реализация результатов исследования.

Рассмотрим каждый из этапов подробнее.

1. Постановка задачи. В начале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, реализуемая в результате ее решения. Первоначально задачу формулируют с точки зрения заказчика. Такая постановка задачи обычно не бывает окончательной. Во время анализа исследуемой системы задача постепенно уточняется.

2. Построение модели. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п. Получив достаточно строгую и логически непротиворечивую, содержательную постановку задачи, нужно построить ее математическую модель.

Математическая модель – это формальное отражение существующих взаимосвязей изучаемого объекта с сохранением основных функциональных характеристик. При этом необходимо учитывать особенности задачи. На этом этапе необходимо выбрать модель, наиболее подходящую для адекватного описания исследуемого объекта или процесса. При построении такой модели должны быть установлены количественные соотношения для выражения целевой функции (или критерия) и ограничений в виде функций от управляемых переменных.

Управляемыми переменными называются такие характеристики исследуемого объекта, значениями которых можно варьировать. Переменные, изменение значений которых не зависит от решений субъекта управления, называются неуправляемыми переменными.

В самом общем виде математическая модель может быть представлена следующим образом:

максимизировать Е=f(x,y) (1.1)

(или минимизировать)

при ограничениях g_i(x,y)Rb_i, i = 1,…,m (1.2)

где R – отношение вида ≤, =, ≥; Е = f(x,y)- целевая функция (технико-экономический показатель качества или эффективности функционирования изучаемого процесса или явления) модели; x - вектор управляемых переменных; y - вектор неуправляемых переменных; g_i – функция потребления i ^го ресурса (иногда соотношение спроса-предложения), b_i - величина – i ^го ресурса.

3. Решение поставленной задачи. Для нахождения оптимального решения задачи (1.1) – (1.2) в зависимости от вида структуры и свойств целевой функции и функций системы ограничений используют те или иные методы теории оптимальных решений – методы математического программирования. Математическое программирование представляет собой дисциплину, занимающуюся изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения. В зависимости от свойств функций f и g_i математическое программирование можно рассматривать как ряд самостоятельных дисциплин, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач, основными из которых являются:

- задачи линейного программирования;

- задачи нелинейного программирования;

- задачи целочисленного программирования;

- задачи параметрического программирования;

- задачи дробно-линейного программирования;

- задачи стохастического программирования;

- задачи динамического программирования;

- эвристическое программирование.

Реальные экономические процессы весьма сложны. При их математическом описании приходится учитывать множество различных факторов. Поэтому математическая модель содержит большое число ограничительных условий со многими неизвестными.

Если неизвестные входят в модель только в первой степени, то задача относится к разделу линейного программирования, в противном случае — к разделу нелинейного программирования.

Кроме того при решении многих задач на искомые переменные по их физическому смыслу (и/или экономическому) необходимо наложить дополнительные ограничения целочисленности. Это имеет место, например, когда искомыми величинами являются неделимые объекты (машины, комплекты оборудования и т.п.). В этом случае к обычной формулировке задачи необходимо добавить условие целочисленности переменных, и мы получим задачу целочисленного программирования. Она может быть как линейной, так и нелинейной.

Во многих задачах математического программирования исходные данные зависят от некоторого параметра. Такие задачи называются задачами параметрического программирования.

Если в задаче фигурируют параметры, являющиеся случайными величинами, то она относится к задачам стохастической программирования.

Оптимизационные задачи, в которых приходится учитывать последовательность действий или фактор времени, рассматриваются в разделе динамического программирования. В отличие от предыдущих задач математического программирования задачи динамического программирования являются многоэтапными или многошаговыми. Иными словами, нахождение решения конкретных задач методами динамического программирования включает несколько этапов или шагов, на каждом из которых определяется решение некоторой частной задачи, обусловленной исходной. Поэтому термин «динамическое программирование» не столько определяет особый тип задач, сколько характеризует методы нахождения решения отдельных классов задач математического программирования, которые могут относиться к задачам как линейного, так и нелинейного программирования.

Наиболее развитым и законченным является раздел математического программирования - линейное программирование. В его рамки укладывается широкий круг технико-экономических и управленческих задач.

4. Проверка адекватности модели. Общий метод проверки адекватности модели состоит в сопоставлении получаемых результатов с характеристиками системы, которые при тех же исходных условиях имели место в прошлом. Если при аналогичных входных параметрах модель достаточно точно воспроизводит поведение системы, то она считается адекватной. Если же построенная модель не обеспечивает необходимого соответствия с описываемым объектом, производится ее корректировка.

5. Реализация результатов исследования. На практике данный этап является завершающим. Полученное предварительно математическое решение облекают в соответствующую содержательную форму и представляют заказчику в виде инструкций и рекомендаций.