Тема 6 Распределение гидростатического давления (Интегрирование уравнения Эйлера)

Воспользуемся основным дифференциальным уравнением гидростатики (4.6)

dp = r × (X × dx + Y × dy + Z × dz).

В случае равновесия несжимаемой жидкости в поле земного тяготения проекции ускорения массовой силы (силы тяжести) X, Y и Z на координатные оси 0x, 0y и 0z (ось 0z направлена вертикально вверх) равны соответственно:

X = g_x = 0; Y = g_y = 0; Z = g_z = – g,

где g_x, g_y и g_z – проекции ускорения g по координатным осям.

Тогда из основного дифференциального уравнения гидростатики (4.6) имеем:

dp = – r × g × dz

или

+ dz = 0. (6.1)

Интегрируя (6.1) при r = const, имеем

+ z = С, (6.2)

где С – постоянная интегрирования.

Для определения постоянной интегрирования С рассмотрим резервуар, заполненный жидкостью (рис. 12).

Рисунок 12

Для точки m, лежащей на свободной поверхности жидкости р = р_св и z = z₀. Подставляя эти значения в (6.2) находим, что

С = + z₀.

Тогда

+ z = + z₀

или

р = р_св + r × g × (z₀ – z).

Обозначим (z₀ – z) = h,

где h – глубина погружения рассматриваемой точки под уровень свободной поверхности жидкости.

Окончательно основное уравнение гидростатики (в интегральной форме) имеет вид:

р = р_св + r × g × h, (6.3)

где р – полное (или абсолютное) давление в рассматриваемой точке;

р_св – давление на свободную поверхность жидкости (внешнее давление). Часто обозначается р₀;

r × g × h – относительное (или весовое) давление. Эта величина равна весу столба жидкости при единичной площади и высоте h.

Общий гидростатический закон может быть сформулирован следующим образом: давление в любой точке покоящейся жидкости равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки с площадью основания, равной единице.

Иначе можно сказать, что абсолютное (полное) давление в рассматриваемой точке равно внешнему давлению, сложенному с давлением столба жидкости над точкой.

Если абсолютное давление в рассматриваемой точке р больше атмосферного р_бар, то разность (р – р_бар) представляет собой превышение полного давления над атмосферным и называется манометрическим или избыточным давлением в данной точке:

р_изб = р_ман = (р – р_бар). (6.5)

р_изб = р_ман = р_св + r × g × h – р_бар.