Рассмотрим тело, которое получается при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , вокруг оси . Для вычисления его объема применим общую формулу объема тела через площадь поперечных сечений. В данном случае в сечении плоскостью получается круг радиуса . Тогда его площадь . Соответственно
– объем тела вращения вокруг оси .
Пример. Найти объём конуса радиуса и высотой .
Конус – это тело, которое можно получить вращением вокруг оси криволинейной трапеции под графиком линейной функции , где . Подставляя в формулу объема тела вращения, получаем
.
В случае вычисления объема тела, полученного вращением вокруг оси фигуры под графиком функции, заданной параметрическими уравнениями , формула имеет вид .
Пример. Найти объём тела, полученного вращением астроиды вокруг оси .
Параметрические уравнения астроиды
Так как кривая симметрична относительно обеих координатных осей, то можно считать только половину объема тела – это объем тела, полученного вращением части кривой, соответствующей изменению параметра
|
|
от до . Подставив в формулу вычисления объема, получим .
Сделаем в этом интеграле замену .
Пересчитаем пределы интегрирования: при ; при . Отсюда:
Удваивая полученный результат, получаем окончательный ответ .