Рассмотрим поверхность, образованную вращением вокруг оси графика функции , заданной на отрезке .
Найдём площадь малого элемента поверхности . Площадь приблизительно равна площади усечённого конуса, в основании которого круги радиуса и , а образующая равна . Площадь поверхности усеченного конуса с радиусом малого основания , радиусом большого основания и длиной образующей вычисляется по формуле . Поэтому . Отсюда , так как слагаемое , которое является бесконечно малой более высокого порядка, чем остальные слагаемые, можно отбросить. Для разных случаев задания кривой дифференциал длины дуги записывается по-разному.
Если кривая задана явно, то и
– площадь поверхности вращения кривой, заданной явно уравнением , .
В случае, если кривая задана параметрическими уравнениями
, то
– площадь поверхности вращения кривой, заданной параметрическими уравнениями.
– площадь поверхности вращения кривой, заданной в полярных координатах уравнением .
Пример 1. Найти площадь шара радиуса .
|
|
Поверхность шара можно получить вращением кривой, заданной уравнением , . В силу симметрии можно считать площадь половины поверхности, полученной вращением части окружности, лежащей в первой четверти.
Вычислим подынтегральные выражения:
Подставляя их в формулу
площади поверхности кривой, заданной явными уравнениями,
получаем .
Умножая на два, находим площадь поверхности шара .
Пример 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды вокруг оси .
Запишем параметрические уравнения циклоиды
Найдем производные . Упростим выражение
Подставляя его в формулу , получаем
Пример 3. Найти площадь поверхности, полученной вращением
лемнискаты Бернулли вокруг оси .
Запишем уравнение лемнискаты в полярных координатах:
.
В силу симметрии можно искать площадь половины поверхности. Она получается
при вращении части кривой, соответствующей значению аргумента .
Воспользуемся формулой
.
Производная от функции равна .
Упростим подкоренное выражение
.
Подставляя в формулу, находим площадь половины поверхности
.
Удваивая этот результат, получаем окончательный ответ .
8.5. Некоторые физические приложения определенного интеграла