Пример 1. Материальная точка движется по прямой. Уравнение ее движения . Определить мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды от начала движения, среднюю скорость и путь, пройденный за это время.
Решение. Мгновенная скорость – это первая производная от пути по времени:
.
Мгновенное ускорение – это первая производная от скорости по времени:
.
Средняя скорость точки за время определяется по формуле
.
Так как , то .
Путь, пройденный точкой за время с, будет равен
.
Ответ: , , , .
Пример 2. Тело движется вниз равноускоренно по наклонной плоскости, и зависимость пройденного пути от времени задается уравнением . Найти коэффициент трения тела о плоскость, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30о.
Решение. Коэффициент трения определяет силу трения при движении тел. Для нахождения рассмотрим, под действием каких сил находится тело. В данном случае на тело действуют силы: сила тяжести , сила реакции опоры и сила трения .
Рисунок 1
Выберем систему координат так, чтобы ось ОХ была параллельна наклонной плоскости (рисунок 1). Тогда согласно второму закону Ньютона, запишем проекции сил на оси:
|
|
на OY: ; на ОХ: .
Преобразовывая это выражение, можно найти коэффициент трения :
.
Определим величину ускорения :
.
Подставив в формулу для численные значения входящих в нее величин, получим коэффициент трения:
.
Ответ: .
Пример 3. Металлический шарик массой 5 г падает с высоты 1 м на горизонтальную поверхность стола и, отразившись от нее, поднимается на высоту 0,8 м. Определить среднюю силу удара, если соприкосновение шарика со столом длилось 0,01 с.
Решение. Импульс силы за время , с которым шарик воздействует на поверхность, равен . Этот импульс силы будет равен изменению импульса шарика , где масса шарика, скорость, с которой шарик опустился на поверхность стола, скорость, с которой шарик отскочил от поверхности стола. Знак «-» означает, что скорости и направлены противоположно.
При свободном падении тела с высоты его скорость на уровне определяется по формуле .
Таким образом, , , откуда
.
Ответ: .
Пример 4. Зависимость угла поворота от времени для точки, лежащей на ободе колоса радиуса , задается уравнением . К концу третьей секунды эта точка получила нормальное ускорение, равное 153 м/с2. Определить радиус колеса.
Решение. Для определения радиуса колеса воспользуемся формулой связи нормального ускорения с угловой скоростью:
.
Отсюда . Угловую скорость найдем, как первую производную от угла поворота по времени:
.
Численное значение угловой скорости в конце третьей секунды найдем. Подставив в полученное уравнение для время .
|
|
Радиус колеса равен .
Ответ: .
Пример 5. Горизонтальная платформа массой кг и радиусом м вращается с частотой об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от до кг м2? Считать платформу однородным диском.
|
,
а когда человек опустил руки
,
где
.
По закону сохранения момента импульса
,
где
, .
Тогда
,
откуда
|
Решая совместно (1) и (2), получим:
,
откуда .
Ответ: .
Пример 6. Два свинцовых шарика диаметрами 1 и 2 мм опускают в сосуд с глицерином высотой 0,5 м. Считая, что скорость шариков сразу становится в равномерной, определить, на сколько раньше и какой из шариков достигнет дна сосуда.
Решение. На каждый из шариков, опускающийся в жидкости, действуют три силы – сила тяжести ; сила внутреннего трения (вязкость) , определяемая по формуле Стокса и выталкивающая сила – сила Архимеда .
Если скорость опускания шариков постоянна, то время опускания будет равно:
.
Для шариков, опускающихся в глицерин, выполняется условие
.
Учитывая, что , получим выражение для :
.
Так как , , , то
.
Найдем время опускания каждого шарика:
,
.
Учитывая, что , делаем вывод, что шарик меньшего диаметра будет опускаться медленнее.
Ответ: шарик большего диаметра достигнет дна сосуда быстрее на 41,64 с.
Пример 7. Ракета движется с большой относительной скоростью. Релятивистское сокращение ее дины составило 15 %. Найти скорость ракеты.
Решение. В системе координат, относительно которой ракета покоится, ее длина равна . В системе координат, относительно которой ракета и связанная с ней система движутся со скоростью , – равна . Эти длины связаны соотношением
, откуда .
По условию задачи:
; ; ; ;
; ; .
Получили, что
.
Ответ: .
Таблица вариантов
Номер студента по списку | Номера задач | ||||||
1, 11, 21, 31 2, 12, 22, 32 3, 13, 23, 33 4, 14, 24, 34 5, 15, 25, 35 6, 16, 26, 36 7, 17. 27, 37 8, 18, 28, 38 9, 19, 29, 39 10, 20, 30, 40 |