Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости (сравнения, Даламбера, интегральный)

Пусть a₁ + a₂ + … + a_n + = _n=1S^¥ a_n = S_n – числовой ряд, каждый член которого положителен. Такой ряд называется рядом с положительными членами или просто положительным числовым рядом.

S₁ = a₁ > 0, S₂ = a₁ + a₂> 0, {S_n}- возрастающая числовая последовательность

Признаки сходимости положительных числовых рядов.

Для того, чтобы положительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частных сумм была ограничена.

Признаки сравнения

Пусть заданы два положительных числовых ряда:

u₁ + u₂ + … + u_n + = _n=1S^¥ u_n, u_n > 0 для " n

v₁ + v₂ + … + v_n + = _n=1S^¥ v_n, v_n > 0 для " n

1) Если "n Î N: u_n £ v_n и ряд _n=1S^¥ v_n – сходится, то и ряд _n=1S^¥ u_{n –} сходится.

Если "n Î N: u_n £ v_n и ряд _n=1S^¥ u_n – расходится, то и ряд _n=1S^¥ v_{n –} расходится.

2) Если $ lim u_n/v_n = k, то ряды либо одновременно сходятся, либо

^{n ® ¥ k = const}

одновременно расходятся.

Признак сходимости Даламбера.

Если _n=1S^¥ u_n – положительный ряд, для которого lim u_n+1/u_n = L, то

^{n ® ¥}

1) при L < 1 ряд сходится

2) при L > 1 ряд расходится

3) при L = 1 необходимы дополнительные исследования.

Интегральный признак сходимости.

Теорема. Пусть _n=1S^¥u_n - положительный ряд, для которого 1) u_n= f(n); 2) y = f(x) определена для " x ³ 1, непрерывна и возрастает, тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл ₁∫^+¥f(x)dx, причем если он сходится, то

_n=1S^¥ u_n = ₁∫^+¥f(x)dx