Основные правила дифференцирования. Теоремы о производной сложной и обратной функции.
Понятие о производных высших порядков. Дифференциал и его геометрический смысл.
Тема 3. Применение дифференциального исчисления для
исследования функций и построения графиков
Экстремумы функций. Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Ролля, Лагранжа). Оценка погрешности вычислений.
Формула Тейлора. Правило Лопиталя. Примеры.
Условия монотонности функции. Признаки точек экстремума и перегиба. Выпуклость функции и ее достаточное условие.
Асимптоты функции и общая схема исследования функции и построения графиков.
Тема 4. Функции нескольких переменных
Понятие функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Полный дифференциал.
Частные производные высших порядков. Формула Тейлора.
Экстремум функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. Обзор методов определения локальных и глобальных экстремумов функций нескольких переменных.
|
|
Эмпирические формулы. Выбор параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов.
Тема 5. Неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие приемы интегрирования: интегрирование заменой переменной и по частям.
Интегрирование рациональных функций и функций, допускающих рационализацию.
Тема 6. Определенный интеграл
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Приемы вычисления определенного интеграла.
Теорема существования определенного интеграла. Понятие о численных методах нахождения определенных интегралов.
Приложения определенного интеграла в геометрии и механике.
Несобственные интегралы первого и второго рода. Понятие о двойном интеграле.
Тема 7. Ряды
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Простейшие свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости.
Достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. Примеры.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.
Степенные ряды. Область сходимости. Теорема Абеля. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов (обзор).
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций.
Применение рядов к приближенным вычислениям.
Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)