Предел последовательности

Вектор х₀метрического пространства Х называется пределом последовательности { х_n } элементов х ₁, х ₂, … из Х, если последовательность расстояний r(х ₀, х ₁), r(х ₀, х ₂), r(х ₀, х ₃), …, r(х ₀, х_n), … стремится к нулю. При этом пишут х_n → х ₀при n → ∞ или lim x_n = x ₀. Последовательность , при этом называется сходящейся в Х, или просто сходящейся. Заметим, что , может быть сходящейся и не сходящейся в зависимости от того, в какой метрике рассматривается сходимость.

Например, если есть последовательность , из разных элементов, которая сходится в некоторой метрике r_1,то, введя метрику r_2,(определяемую формулой (*) из §1 мы увидим, что эта последовательность в метрике r_2,не сходится.

1°. Если последовательность , сходится в Х, то сходится и имеет тот же предел, любая подпоследовательность , этой последовательности. ◀ ▶

2°. Если последовательность , имеет предел то этот предел единственный.

◀ Пусть { х_n } имеет два предела у ₁ и у ₂. Тогда

"e>0 $ N ₁ " n > N ₁½ r(х_n, y ₁) < e/2

"e>0 $ N ₂ " n > N ₂½ r(х_n, y ₂) < e/2.

Выбрав N = max(N ₁, N ₂) получим

" n > N r(y ₁, y ₂) £ r(y ₁, x_n) + r(х_n, y ₂) < e/2 + e/2 = e,