Доверительный интервал для дисперсии

По выборке достаточно большого объема (n >30) и при заданной надежности 1– a необходимо определить доверительный интервал для дисперсии m₂, оценка которой

.

Если стандартизовать оценку дисперсии, то величина (n –1) S ²/ m₂ имеет распределение хи-квадрат с (n –1) степенями свободы. Из этого вытекает вероятностное утверждение относительно выборочной дисперсии

P[(n–1)S² / μ₂ >c²_a(n–1)] = a. (4.3)

Функция хи-квадрат несимметричная, поэтому границы интервала c²₁(n–1) и c²₂(n–1) выбирают из условия равной вероятности выхода за их пределы

P[(n–1)S²/ μ₂ <c²₁(n–1)] = P[(n–1)S²/ μ₂ >c²₂(n–1)] = a/2

или (4.4)

P[(n–1)S²/c²₁(n–1) < m₂] = P[(n–1)S²/c²₂(n–1) > m₂] = a/2.

Значения границ соответствуют квантилям распределения хи-квадрат с значениями уровней a /2 и 1– a /2, количество степеней свободы равно n –1.

Нижняя граница c²₁(n–1) равна квантили c²_a/2(n–1), а верхняя – квантили c²_{1- a/2}(n–1). Если воспользоваться критическими точками распределения, то следует записать

c²₁(n–1) = c²(1– a/2; n–1),

c²₂(n–1) = c2(a/2; n–1).

Пример 4.4. Определить с надежностью 0,9 доверительный интервал для дисперсии случайной величины (n =44, S²= 0,91)

Решение. Количество степеней свободы 44–1=43. Вероятности выхода за нижнюю и верхнюю границы (1–0,9)/2 =0,05. По распределению хи-квадрат находим квантили

c²_0,05(43)=28,96, c²_0,95(43) =59,30.

Следовательно, НДГ для дисперсии

θ ₀=(n–1)S²/c²_0,95(43)= 43×0,91/59,30= 0,66,

и ВДГ

θ ₁=(n–1)S²/c²_0,05(43)= 43×0,91/28,96 = 1,36.