Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида
Х | |||
р | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
Y | ||
p | 0,5 | 0,5 |
Найдем М (Х) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50, М (Y) = 0·0,5 + 100·0,5 = 50. Как видно, мате-матические ожидания обеих величин равны, но если для Х М (Х) хорошо описывает пове-дение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (при-чем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отсто-ят от М (Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математи-ческое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:
D (X) = M (X – M (X))².
Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.
|
|
Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.
Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:
Теорема D (X) = M (X ²) – M ²(X). Доказательство.
Используя то, что М (Х) – постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу (7.6) к виду:
D (X) = M (X – M (X))² = M (X ² - 2 X·M (X) + M ²(X)) = M (X ²) – 2 M (X)· M (X) + M ²(X) =
= M (X ²) – 2 M ²(X) + M ²(X) = M (X ²) – M ²(X), что и требовалось доказать.
Свойства дисперсии.
1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
D (C) = 0.
Док-во. D (C) = M ((C – M (C))²) = M ((C – C)²) = M (0) = 0.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D (CX) = C ² D (X).
Доказательство. D (CX) = M ((CX – M (CX))²) = M ((CX – CM (X))²) = M (C ²(X – M (X))²) = C ² D (X).
3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
Доказательство. D (X + Y) = M (X ² + 2 XY + Y ²) – (M (X) + M (Y))² = M (X ²) + 2 M (X) M (Y) +
+ M (Y ²) – M ²(X) – 2 M (X) M (Y) – M ²(Y) = (M (X ²) – M ²(X)) + (M (Y ²) – M ²(Y)) = D (X) + D (Y).
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.
4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D (X – Y) = D (X) + D (Y). (7.11)
Доказательство. D (X – Y) = D (X) + D (- Y) = D (X) + (-1)² D (Y) = D (X) + D (X).
|
|
Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.
Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
. (7.12)