Основы газовой динамики

Процессы истечения и течения газов по каналам переменного сечения широко распространены в современной технике (истечение из сопел, обтекание обводов профиля летательного аппарата).

Если параметры газа перед соплом не зависят от времени, то рассматривается процесс истечения из сосуда неограниченной жидкости, в противном случае – истечение из сосуда ограниченной емкости.

Стационарным (установившимся) течением газа называется такое течение, при котором расход газа во всех сечениях канала одинаков и не зависит от времени, кроме того параметры газа в сечении канала и на входе в него также не изменяются с течением времени. В этом случае поток рассматривается одномерным. Реальный процесс течения является двумерным (скорость меняется как по длине, так и по поперечному сечению канала).

В гидродинамике задача упрощается, и переменные в поперечном сечении параметры заменяются их средними значениями.

3.1. Уравнение энергии

Рассмотрим два случая, рис. 3.1, расположения точки начала координат:

Рис. 3.1.

а) система координат x´y´z´ перемещается в потоке, W = 0;

б) система координат xyz жестко связана со стенками канала.

Газ массой М получает извне некоторое количество теплоты dQ.

Процессы, происходящие в потоке газа для случая (а) были рассмотрены в курсе «Термодинамика». В случае (б) – происходят следующие явления:

1) В выделенном объеме изменится температура газа, а следовательно, и внутренняя энергия, dU >0;

2) Под действием разности давлений ΔP = P₁ – P₂ объем газа переместится по длине канала, т.е. затратится работа перемещения, dL_п;

3) За счет увеличения температуры произойдет уменьшение плотности, следовательно, изменится скорость движения и кинетическая энергия, dMW²/2;

4) В случае установки в канале турбины или компрессора произойдет подвод или съем механической работы, dL_T;

5) Может произойти изменение потенциальной энергии dH, вследствие разности гравитационных уровней.

В случае отсутствия химических, электрических или других процессов:

dQ = dU + dL_п+ (dMW²/2) + dL_T₊dH - уравнение энергии газового потока.

Упрощения:

dL_T = 0;

Т.к. плотность газа мала, то dH = 0;

dQ = dU + dL_п+ (dMW²/2).

Для 1 кг газа

dq = du + dl_п+ (dW²/2) – уравнение энергии газового потока.

Для системы координат x´y´z´ (случай «а») справедлив первый закон термодинамики:

dq = du + dl.

Для системы координат xyz (случай «б»):

dq = du + dl_п+ (dW²/2).

Тогда du + dl_п+ (dW²/2) = du + dl.

dl - dl_п = dW²/2 – первый закон термодинамики для газовых потоков.

3.2. Уравнение неразрывности газового потока и его анализ

Рассмотрим стационарный режим течения газа по каналу, рис.3.2.

Рис. 3.2.

Секундный весовой расход газа

– уравнение неразрывности или сплошности

L₁ – работа проталкивания объема V₁ в заштрихованную зону

L₁ = P₁ f₁ x₁ = P₁ V₁ (f₁ = const, т.к. x₁ → 0)

L₂ – работа вытеснению объема V₂ из заштрихованной зоны:

L₂ = P₂ f₂ x₂ = P₂ V₂ (f₂ = const, т.к. x₂ → 0)

L_п = L₂ - L₁ = P₂ V₂ - P₁ V₁ - работа перемещения

Для бесконечно малого изменения состояния и для 1 кг газа:

dl_п =d(Pv)

dq = du + dl_п+ (dW²/2) = du + d(Pv) + (dW²/2) =

= d(u +Pv) + (dW²/2) = di + (dW²/2)

dq= di + (dW²/2) – первый закон термодинамики для газовых потоков.

Теплота, подведенная к газовому потоку, идет на изменение энтальпии и кинематической энергии газа, т.е. на увеличение скорости потока.

Т.к. dl - dl_п = dW²/2, где dl = Pdv; dl_п = d(Pv),

то Pdv – Pdv – vdP = dW²/2 → -vdP = l₀ = dW²/2

Для газового потока располагаемая работа l₀ эквивалентна изменению кинетической энергии газового потока, рис. 3.3а.

1) Если dW = 0, то и dP = 0 по всей длине канала

2) Если dW > 0, то dP < 0 (каналы называются соплами)

3) Если dW < 0, то dP > 0 (каналы называются диффузорами)

Рис. 3.3а.

dl₀ = -vdP, _.

Если кривая ab политропа, то Pvⁿ = const.

Известно, что для любого политропного процесса l₀= n l, а dl₀= dl - dl_п, то

l₀= l - l_п=n l.

Проанализируем полученное выражение:

- при n =1 l₀= l (при Т=const, Pv=const, т.е. d(Pv) = l_п= 0), рис.3.3а.

- при n = k = 1,4 l₀> l (~ на 40%), при этом l_п<0, рис. 3.3а.

P₂

P₁

v₁

l₀

- при n=

l₀= -l_п (при v=const, Рdv = l = 0), т.к. n l=∞ 0 – математическая неопределенность, следовательно l₀= -l_n=-(P₂- P₁) v₁, рис.3.3б.

Рис.3.3б.

- при n=0, l= l_n (при P = const, -vdP = l₀= 0), однако l ≠ 0, т.к.

P₁

v₂

v₁

l =

неопределенность,

, рис.3.3в.

Рис.3.3в.

Т.к. dl₀=d , а , то , т.е. располагаемая работа получается за счет сообщения телу тепла и уменьшения его теплосодержания при постоянном давлении.

Для конечного процесса .

Представленные выражения для определения располагаемой работы справедливы как для обратимых, так и для необратимых процессов.

3.3. Адиабатное течение газов по каналу

При адиабатном течении энтропия S=const, dS=0, dq=0. Такие условия приближенно выполняются при течении газа с большой скоростью , т.е. когда время соприкосновения газа со стенками канала мало (потоки газа в двигателе, за исключением камеры сгорания, поток, обтекающий летательный аппарат).

₁

₂

Рассмотрим движение газа по каналу при

или когда стенки канала теплоизолированы.

Рис. 3.4.

Первый закон термодинамики для газового потока запишется в виде: .

При dq=0, -di= .

; ;

, т.е. const.

При адиабатном течении газа в любом сечении потока сумма энтальпии и кинетической энергии одинаковы, т.е. i характеризует кинетическую энергию потока, т.к. ее изменение вызывает изменение W. Если в поток поместить твердое тело (преграду), то он затормозится, W = 0. Параметры потока в этом случае называются заторможенными: , рис. 3.5.

При ; .

, т.к. .

или ,

где Т – температура, замеренная датчиком, движущимся в потоке.

Если Т=300К, W=1000 , то

Рис. 3.5.

3.4 Скорость газа при адиабатическом истечении из сопла

Рассмотрим схему истечения газа из сопла, рис. 3.6.

Рис 3.6.

Уравнение энергии газового потока можно записать в виде:

Проинтегрируем предыдущее выражение:

, откуда .

Т.к. W₂>>W₁, то W₁ можно пренебречь, тогда , где W₂ – теоретическая скорость истечения газа без учета его начальной скорости.

Т.к. для адиабатного процесса , то

С учетом уравнения состояния Pv=RT.

т.к.

тогда

3.5. Весовой расход газа при адиабатном истечении из сопла

; где f₂ – площадь сечения на срезе сопла, рис. 3.6.

= =

Для адиабатного течения:

; , =

= =

G =

Обозначим _;

W, G, P₂

Рис 3.7.

С уменьшением за счет уменьшения P₂, рис. 3.7., скорость W₂ увеличивается и становится максимальной W_max_,_T при P₂ = 0, расход G также увеличивается. Однако при P₂ = 0, ; что оказывается в противоречии с получающей при этом максимальной скоростью, W_max_,_T_.

Опыт показывает, что выражения для G и w₂ справедливы только при уменьшении β до некоторого значения. Дальнейшее падение β определяет постоянство давления в устье сопла P_кр даже при падении давления окружающей среды

P_кр соответствуют v_кр, T_кр, а G и w₂ – постоянны и максимальны по величине.

– дозвуковая область; – сверхзвуковая область

Рассмотрим выражение

Найдем первую производную и приравняем её к 0, т.е. определим значение параметров при G_max.

Следовательно, G_max = G_кр при и зависит лишь от свойств газа.

При k = 1,4 (двухатомный газ)

Максимальный расход газа не зависит от параметров среды, куда происходит истечение.

3.6. Физический смысл критической скорости газа при адиабатном истечении из сопла

Т.к. процесс адиабатический, то

При получим

Подставим выражение для T₁, в формулу для определения W_КР

Проанализируем процесс истечения из сужающихся
сопел.

1) , рис. 3.8.

Вся располагаемая работа реализуется в сопле, т.е. превращается в кинетическую энергию истекающего вещества.

P₁

– давление окружающей среды, L – линейный размер сопла, м

Рис. 3.8.

2) , рис. 3.9.

Рис.3.9.

Часть располагаемой работы l₀, реализуется в сопле (идет на создание тяги в авиационном двигателе). Располагаемая работа l₀ ʹ в сопле не реализуется. Окончательное расширение газа происходит за пределами сопла.

3.7. Условия необходимые для увеличения скорости истечения

Рассмотрим уравнение неразрывности

G = ρWf = const; Gv = Wf (1)

Продифференцируем

Gdv = Wdf + fdW (2)

Поделим (2) на (1)

(3)

Из уравнения адиабатного процесса =>

(4)

Для адиабатического истечения:

, , (5)

Подставим в (3) значения (4) и (5)

(6)

При критическом режиме истечения:

( 7 )

В уравнении (7) f – площадь сечения сопла, df – приращение площади сечения сопла.

При истечении газа из сопла

1) , , , , рис 3.10.

Рис. 3.10.

2) , , ,.

Рис. 3.11.

3.8. Сопло Лаваля

Геометрическое сопло в котором обеспечивается сверхзвуковая скорость истечения называется соплом Лаваля. В простейшем виде это комбинация двух усеченных конусов, состыкованных по меньшим диаметрам, рис. 3.12.

Рис. 3.12.

В сопле Лаваля полностью реализуется располагаемая работа газа. При

этом Р₃ = Р_Н, где Р_Н – давление окружающей среды. Этот режим работы сопла называется расчетным.

3.9. Режимы работы сопла

Тяга ракетного двигателя _нпри наличии давления окружающей среды Р_нопределяется из выражения:

где - массовый секундный расход топлива,

– площадь среза сопла,

и - давление и скорость на срезе сопла, соответственно.

1) Расчетный режим, Р_а = Р_н, рис. 3.13а.

2) Режим недорасширения, Р_а Р_н, рис. 3.13б.

Режим недорасширения наблюдается при полете летательногоаппарата по траектории выше расчетной.

3) Режим перерасширения, Р_а < Р_н, рис. 3.13в.

Режим перерасширения наблюдается при полете летательного аппарата по траектории ниже расчетной.

Рис. 3.13.

а).

б).

в).

3.10.Профилирование сопла Лаваля

При профилировании конического сопла используют уравнение расхода

Для того, чтобы течение газа в расширяющейся части сопла было безотрывным, угол конуса не должен превышать 8-12º. Если угол больше, то образуются вихревые зоны, что приводит к потерям энергии.

3.11. Максимальная скорость истечения газа из сопла Лаваля

При имеем

, ,

;

Для воздуха k = 1,4;

3.12. Течение газа по соплу с трением.

В реальных процессах течение газа сопровождается его трением о стенки канала, при этом работа трения превращается в тепло, которое сообщается газу, рис. 3.14. Увеличение температуры газа приводит к росту внутренней энергии, энтальпии и энтропии.

ТS

ТT

P₂ = const

P₁ = const

ΔS

22ʹ

ТT₂

ТT₁

ТTʹ₂

P₂ < P₁

Рис. 3.14.

1 - 2 - процесс для идеального газа, протекающего по каналу без трения;

1 - 2ʹ - процесс истечения газа из сопла с трением.

Изменение энтальпии газа в процессе 1 – 2:

Изменение энтальпии газа в процессе 1 – 2ʹ:

Так как скорость газа:

Следовательно: ,

где φ – коэффициент скорости, определяемый экспериментально.

3.13. Дросселирование (мятие) газа

Понижение давления потока газа при его прохождении через местное сопротивление без совершения внешней работы называется дросселированием (мятием).

Рис. 3.15.

При подходе газа к резкому местному сужению скорость газа возрастает, давление падает, рис.3.15. При этом всегда по длине канала можно выбрать сечения 1 и 2 для которых W₂≈ W₁. Т.к. при адиабатном течении:

W₂≈ W₁, i₁ ≈ i₂

В связи с тем, что ; , то T₁ ≈ T₂

В действительности, в процессе дросселирования при сужении газового потока перед преградой происходит уменьшение температуры.

Несмотря на то, что для точек 1 и 2 температура одинакова (T₁ = T₂), процесс дросселирования не является изотермическим и в “T – S” диаграмме он изображается условно. Этот эффект дросселирования широко используется в технике замера расхода газа при регулировании двигателей.

P₁

P₂

Рис. 3.16.

3.14. Особенности газовоздушных потоков в ТРД

Основные, идеальные циклы двигателя независимо от их устройства состоят из сочетания четырех процессов: сжатия и расширения рабочего тела, подвода и отвода тепла.

Как было показано ранее, подведенная в цикле извне теплота всегда больше отведенной (q₁> q₂), а работа, произведенная в процессе расширения рабочего тела, больше работы, затрачиваемой на его сжатие (). По циклу, близкому к циклу Брайтона, работают авиационные турбовинтовые и газотурбинные двигатели, а также прямоточные ВРД. На рис.3.17 представлена схема турбореактивного двигателя.

Рис. 3.17

Не вдаваясь в детальное рассмотрение процессов, протекающих в потоке рабочего тела необходимо отметить, что сущность ТРД как теплового двигателя заключается в преобразовании тепловой энергии, сообщаемой газу в камере сгорания, в механическую работу, которая выражается увеличением кинетической энергии направленного движения этого газа.

б)

а)

Идеальный круговой процесс такого двигателя (цикл Брайтона) совершается следующим образом: рабочее тело с начальным давлением P₁ и температурой T₁ сжимается по адиабате 1-2, рис.3.18, до давления P₂ и температуры T₂, далее к сжатому рабочему телу подводится извне теплота при постоянном давлении, то есть по изобаре 2-3.

В результате подвода теплоты температура рабочего тела повышается до заданного максимального уровня T₃. После этого сжатое и нагретое тело расширяется по адиабате 3-4, так, что при полном расширении до наружного противодавления P₄ = P₁ температура T₄ >T₁.

а) б)

Рис. 3.18.

В заключении происходит отвод теплоты от отработавшего рабочего тела в окружающую среду по изобаре 4-1 и рабочее тело возвращается в исходное состояние, определяемое точкой 1. Реализация кругового процесса совершается непрерывно в потоке рабочего тела.

В цикле Брайтона процессы сжатия 1-2 и расширения 3-4 принимаются протекающими по адиабатам, а подвода 2-3 и отвода 4-1 тепла - по изобарам.

Из курса «Термодинамика» известно, что теоретическая работа цикла эквивалентна площади, ограниченной процессами образующими его, и для рассматриваемого случая может быть определена по следующим зависимостям:

так как:

где - степень подогрева в процессе сжатия,

p - степень повышения давления рабочего тела,

– общая степень подогрева в цикле.

Таким образом, теоретическая работа цикла Брайтона зависит от общей степени подогрева d и степени повышения давления p рабочего тела.

С увеличением степени подогрева рабочего тела работа цикла возрастает по линейному закону. Зависимость от степени повышения давления имеет более сложный характер.

При e = 1 (p = 1) отсутствует процесс сжатия рабочего тела; теоретическая работа цикла равна нулю.

При e _max = d отсутствует подвод теплоты (T₂= T₃) – теоретическая работа цикла вновь равна нулю. Следовательно, существует некоторая оптимальная степень повышения давления p_опт, при которой теоретическая работа цикла достигает максимального значения при заданной величине d (или T₃).

С возрастанием степени повышения давления от 1 до p_опт теоретическая работа цикла увеличивается, а при дальнейшем его увеличении стремится к нулю.

Трансформация идеального газа Брайтона с изменением p представлена на рис.3.19.

Рис. 3.19.

Видно, что при p = 1, цикл вырождается в отрезок 1-3 изобары p₁; при p = p_max, цикл вырождается в отрезок 1-2 адиабаты, при p = p_опт, теоретическая работа цикла достигает максимума (заштрихованная зона).

Термический КПД цикла Брайтона определяется по следующей зависимости:

На рис.3.20 показан процесс влияния параметров p и d на термический КПД, теоретическую работу цикла и количество отведенного тепла.

Рост общей степени подогрева рабочего тела в цикле не влияет на h_t; однако с ростом степени повышения давления термический КПД увеличивается. У современных авиационных ГТД реализованная степень повышения давления воздуха в компрессоре достигло уровня 25…35 при h_t = 0,6…0,64.