Аналитическое или графическое представление сигналов как функции частоты является представлением сигналов в спектральной (частотной) области.
Различают представление сигналов в спектральной области с дискретным и сплошным спектрами.
Можно доказать, что периодические сигналы обладают дискретными спектрами, а одиночные и пачечные сигналы – сплошными.
Пусть некоторый периодический сигнал представлен совокупностью u(t) гармонических колебаний:
.
Совокупность частот представленных колебания является частотным спектром данного сигнала.
Совокупность амплитуд на соответствующих частотах
…
является амплитудно-частотным спектром данного сигнала.
Совокупность начальных фаз на соответствующих частотах
…
...
является фазо-частотным спектром данного сигнала.
Амплитудно-частотный спектр (АЧС) (рис. 1.19) и фазо-частотный спектр (ФЧС) (рис. 1.20) могут быть изображены в виде системы, состоящей из двух графиков.
Рис. 1.20
Для одиночных и пачечных сигналов АЧС и ФЧС будут сплошными.
Для расчета спектров, т.е. для представления сигналов как функции частоты, используют следующие основные приемы:
· тригонометрические преобразования,
· интегральное преобразование Фурье,
· разложение в ряд Фурье.
В результате интегрального преобразования Фурье вычисляют спектральную плотность заданного одиночного сигнала и представляют ее в показательной форме записи
,
здесь – спектральная плотность, – модуль спектральной плотности, – аргумент спектральной плотности, – сигнал.
Аналитические выражения или , а так же или являются зависимости, описывающими АЧС и ФЧС данного сигнала.
В результате разложения в ряд Фурье представляют заданный периодический сигнал в виде совокупности гармонических составляющих:
,
где – частота гармонической составляющей с номером , - постоянная составляющая, – амплитуда гармонической составляющей с номером K, – начальная фаза гармонической составляющей с номером .
Расчет и проводится согласно выражению
,
где - комплексная амплитуда ряда Фурье.
Расчет проводится аналогично, при :
Между спектральной плотностью и комплексной амплитудой ряда Фурье существует связь:
, ,
которая позволяет, зная значения спектральной плотности, вычислить комплексную амплитуду ряда Фурье путем вычисления спектральной плотности на частотах и умножения полученных значений на множитель .