Спектральная плотность единичного сигнала

б

Непосредственное интегрирование функции единичного скачка (рис. 2.19) не приводит к результату.

а

Возникающие трудности можно обойти, если рассматривать скачок как предел экспоненциального импульса s(t) при a ® 0, т. е.

. (2.44)

Воспользуемся выражением (2.33) для спектральной плотности экспоненциального импульса и положим a ® 0:

. (2.45)

Можно приравнять a = 0 непосредственно в выражении (2.45), но это будет некорректно, так как получающийся при этом результат неправильно описывает поведение спектральной плотности при w = 0. Более правильный путь состоит в разделении действительной и мнимой частей выражения (2.45):

.

Предел первого слагаемого приводит к d-функции:

,

а предел второго слагаемого вычисляется элементарно. В результате для спектральной плотности единичного скачка получим

. (2.46)

Физический смысл получившегося результата достаточно прост: ступенчатый сигнал содержит постоянную составляющую, которая вдвое меньше постоянной составляющей постоянного сигнала.

Сравнивая спектральные плотности рассмотренных в данном разделе неинтегрируемых сигналов, можно заметить интересную закономерность: спектральная плотность каждого из этих сигналов содержит особенности в виде одной или нескольких d-функций.

2.8. Спектральная плотность импульсов
с высокочастотным заполнением

Рассмотрим импульс произвольной формы с высокочастотным заполнением (рис. 2.20 а), который можно рассматривать как произведение огибающей F (t) на гармоническую функцию:

. (2.47)

Импульсы такого вида еще называют радиоимпульсами.

Пусть спектральная плотность огибающей нам известна. Обозначим ее . Для определения спектральной плотности радиоимпульса применим теорему о спектральной плотности произведения двух функций. При этом используем полученное ранее выражение (2.40) для спектральной плотности гармонического сигнала:

. (2.48)

На рис. 2.20, б изображен модуль спектральной плотности радиоимпульса для типичного случая, когда частота заполнения w ₀ значительно больше ширины спектра. Здесь же для сравнения изображен график спектральной плотности огибающей. Видно, что спектральная плотность радиоимпульса как бы раздваивается; одна часть расположена в окрестности частоты w ₀, другая – в окрестности частоты – w ₀. Каждая из частей повторяет по форме график спектральной плотности огибающей, но имеет вдвое меньшую высоту.

а б

Ниже мы рассмотрим в качестве примера применения формулы (2.48) спектры двух сигналов, часто используемых в радиотехнике: прямоугольного радиоимпульса и косинусоидального видеоимпульса.