Основные понятия теории пограничного слоя

При движении реальной жидкости или газа действие сил вязкости в разных областях течения проявляется неодинаково. Оно наиболее интенсивно там, где изменение скорости по нормали к линиям тока, иначе называемое поперечным градиентом скорости, достаточно велико, и касательные напряжения имеют значительную величину. Такие области существуют вблизи границ обтекаемых твердых поверхностей или границ двух потоков жидкости, движущихся с разными скоростями. Они называются пограничными слоями.

Если поперечные градиенты скорости равны нулю и, к тому же, вторые частные производные от проекций скорости по одноименным координатам также равны нулю [1], то исчезают «вязкостные члены» νΔw_x, νΔw_y, νΔw_z, ν(1/3)∂(divW)/∂x, ν(1/3)∂(divW)/∂y, ν(1/3)∂(divW)/∂z в уравнениях Навье—Стокса (6.15)[2], и последние вырожда­ются в уравнения Эйлера (1.27)[3].

Уравнения Эйлера описывают движение идеальной жид­кости, следовательно, в той области, где выполняются отмеченные выше условия, течение происходит в соответствии с законом движения идеальной жидкости, несмотря на то, что ν≠0. При отсутствии поперечных градиентов скорости поток является безвихревым (см. формулу (1.6)) [4] или потенциальным. Поэтому данную область называют областью потенциального течения.

Таким образом, при расчете того или иного течения можно всю область разбить на две: пограничный слой и потенциальный поток. Пограничный слой рассчитывается методами теории движения вязкой жидкости, а потенциальное течение — известными методами теории потенциального потока. Это дает значительное упрощение задачи.

На рисунке 115 показана схема образования пограничного слоя при обтекании плоской стенки. Здесь цифрой 1 обозначена область пограничного слоя, цифрой 2 — область внешнего потенциального потока, 3 — внешняя граница пограничного слоя (внутренней границей является сама твердая стенка). Многочисленные опыты показывают, что скорость частиц жидкости относительно обтекаемого твердого тела на самой стенке равна нулю [5], а по мере удаления от последней очень быстро нарастает, приближаясь к скорости внешнего потока w₀. Толщина пограничного слоя в носовой точке тела равна нулю и по длине обтекаемой поверхности постепенно нарастает.

В условиях внутренней задачи, например, в трубах или каналах, формирование пограничного слоя имеет некоторые особенности. Схема такого течения приведена на рисунке 116. Пограничные слои, образующиеся на противоположных стенках, утолщаясь по длине трубы, в конце концов, смыкаются. Таким образом, структура потока по длине трубы получается различной. На начальном или разгонном участке ℓ_р поток состоит из пограничного слоя 1 и ядра 2. В пограничном слое скорость меняется nо нормали к стенке, в ядре — она постоянна (см. эпюру скорости на рисунке 116). После смыкания пограничных слоев ядро исчезает, и эпюра скорости приобретает параболическую форму. Длина разгонного участка в трубах составляет 150—300 диаметров при ламинарном течении и 30—50 диаметров — при турбулентном.

Пограничный слой возникает также на границах струи, вытекающей из насадка в неподвижную жидкость, при слиянии двух струй, движущихся с разными скоростями, а также за точками разветвления разветвленных скачков уплотнения, например, при маховском отражении или при взаимном пересечении косых скачков, за которыми в идеальном газе должны были бы получиться линии тангенциального разрыва.

В рассмотренных примерах толщина пограничного слоя принималась как такое расстояние от стенки, на протяжении которого скорость меняется от нуля до скорости во внешнем потоке w₀ или в ядре потока. Наиболее просто толщина пограничного слоя определяется в трубе, в зоне 4 (см. рисунок 116). Здесь она равна радиусу трубы. Если рассмотреть эпюру скоростей, снятую при внешнем обтекании тела, то очень легко можно убедиться в том, что определить четко внешнюю границу пограничного слоя невозможно. Теоретическое рассмотрение этого вопроса показывает, что процесс приближения скорости w к скорости внешнего потока w₀ является асимптотическим, т.е. равенство w=w₀ наступает лишь на бесконечном расстоянии от стенки. Однако уже на сравнительно малых расстояниях от стенки разность w₀—w весьма мала по сравнению с w₀. Поэтому для четкого определения границы пограничного слоя вводят такую условность: границу проводят там, где местная скорость отличается от скорости w₀ на 1 % (см. рисунок 117). Тогда толщиной пограничного слоя δ следует назвать такое расстояние от стенки, отсчитанное по нормали, на котором скорость потока составляет 99% от скорости внешнего течения т.е.

(6.38)

Движение жидкости в пограничном слое является вихревым. В этом легко убедиться, применив теорему Стокса о циркуляции скорости [6]:

Г = 2_σ∫ ω_n dσ.

к произвольному замкнутому контуру, например 1234,выделенному внутри пограничного слоя (см. рисунок 117). Здесь циркуляция по выделенному контуру в целом не равна нулю: Г₁₂₃₄= Г₁₂ + Г₂₃ + Г₃₄ + Г₄₁ > 0, так как Г₁₂ = Г₃₄ = 0 (участки контуров 1—2 и 3—4 перпендикулярны скорости), Г₄₁ = 0 (скорость на стенке равна нулю), а Г₂₃ = w_23∙ℓ₂₃ > 0. Следовательно, ω_n>0. Заметим, что вращение частиц жидкости получилось в том же направлении, что и выбранное направление обхода контура, т.е. по направлению к стенке. Этим объясняется тот факт, что вращение в водоворотах, образующихся, например, при обтекании кормы катера, или в пылевых вихрях — при обтекании кузова автомобиля, всегда направлено внутрь — в сторону обтекаемого тела, но не наружу.

Линии тока в пограничном слое очень слабо наклонены относительно обтекаемой стенки, и составляющие скорости по нормали к стенке, а, следовательно, и количества движения в этом направлении, весьма малы. Поэтому с достаточной степенью точности можно считать, что изменение давления поперек пограничного слоя ничтожно мало, т.е. ∂p/∂y ≈0. Это условие хорошо подтверждается экспериментом.

Сопротивление, которое оказывает твердая стенка движению потока — сопротивление трения — определяется потерей количества движения жидкости. Потеря количества движения наблюдается в пограничном слое, где действие сил вязкости проявляется наиболее интенсивно. Поэтому в расчетах принимают, что все гидравлические потери сконцентрированы в пограничном слое. За его пределами потери отсутствуют, т.е. жидкость движется как идеальная. Поскольку статическое давление поперек пограничного слоя постоянно, а скорость по мере приближения к стенке уменьшается до нуля, то давление торможения переменно по сечению: у стенки р*=р, а на внешней границе р* достигает тои величины, которую оно имеет во внешнем потоке.

Распределение температур в пограничном слое зависит от того, каковы направление и интенсивность теплообмена между стенкой и газом. Наиболее простым является случай, когда обтекаемая твердая поверхность теплоизолирована, т.е. теплообмен между стенкой и газом отсутствует. В этом случае тепло, выделяющееся внутри пограничного слоя вследствие вязкой диссипации (внутреннего трения), нагревает газ, следовательно, образуется градиент температуры, направленный от внешнего потока к стенке. Так как газ обладает теплопроводностью, то под действием разности температур возникает тепловой поток в пограничном слое, направленный от стенки к внешней границе. Процесс выделения тепла определяется вязкостью газа, процесс теплоотдачи во внешний поток — теплопроводностью. В зависимости от соотношения между этими величинами температура стенки может получиться либо ниже температуры торможения внешнего потока, либо равной ей, либо выше нее.

Нагревание обтекаемого тела в результате торможения газа в пограничном слое называется аэродинамическим нагревом [7].

Из уравнения энергии (2.6)[8], которое с учетом формулы (2.27), может быть записано как

с_p dT* = dQ_e – dL, (6.39)

следует, что изменение температуры торможения в потоке зависит от внешнего теплообмена dQ_е и внешней механической работы dL. Если внутри пограничного слоя выделить элементарный объем (см. рисунок 115), то нетрудно установить, что при своем движении он совершает работу против сил от вязких напряжений τ и τ'. По отношению к элементарному объему эта работа является внешней. В единицу времени она равна

[9]

Отнеся ее к единице массы, т.е. поделив на ρdxdy ·1, получим

(6.40)

Тепло, подведенное к элементарному объему в единицу времени, определится как разность тепловых потоков: входящего снизу qdх и выходящего сверху q'dх [10]

Подведенное тепло, отнесенное к единице массы, будет

(6.41)

Из уравнения (6.39) следует, что если dQ_е=dL, то температура торможения будет постоянная во всем потоке. В противном случае она будет меняться. Рассмотрим условия, при которых Т*=соnst во всем потоке. Приравнивая правые части формул (6.40) и (6.41), получим

или τω – q = const.

Постоянная интегрирования легко определяется из граничных условий: на стенке w=0 и q=0, т.е. Cоnst=0. Выразив здесь касательное напряжение τ по закону трения Ньютона, а удельный тепловой поток по закону т еплопроводности Фурье

(6.42)

где λ— коэффициент теплопроводности газа, получим

что можно записать, как

или, приняв C_р=соnst, в таком виде:

или

(6.43)

Из Уравнения (6.43) очевидно, что постоянство температуры торможения поперек пограничного слоя, иначе говоря, ∂Т*/∂у = 0, будет соблюдаться при Pr =1.

Таким образом, при отсутствии теплового потока через стенку и при Pr =1 темпера­тура торможения постоянна во всем потоке: Т*=Т₀*=Т_с*=Т_с=соnst.

Так как Т=Т*– w²/2C_p, то изменение термодинамической температуры Т в пограничном слое связано только с изменением скорости. Следовательно, толщина температурного пограничного слоя равна толщине динамического пограничного слоя.

При Pr <1 температура торможения падает по направлению к стенке, т.е. Т_с<Т₀*, и динамический пограничный слой тоньше температурного. При Pr >1 температура торможения возрастает от внешнего потока к стенке, т.е. Т_с>Т₀*, и динамический пограничный слой тоньше температурного [11].

Если рассмотреть энергоизолированное течение в канале при Pr <1 или Pr >1, то можно установить, что температура торможения в различных сечениях потока неодинакова. Однако, согласно закону сохранения энергии для одномерного потока, она должна оставаться постоянной во всем потоке. Это кажущееся противоречие разрешается просто. Действительно, средняя по сечению температура торможения в энергоизолированном течении остается постоянной по длине всего потока, но внутри каждого поперечного сечения она распределена неравномерно, так как происходит перераспределение энергии между слоями: полный запас энергии одних слоев газа увеличивается за счет других, но в сумме по всему поперечному сечению остается одним и тем же.

Число Pr зависит от физических констант рабочего тела. Для многоатомных газов Pr ≈1, для жидких металлов Pr <<1, для масел Pr >>1. Для воздуха, например, среднее значение Pr =0,72. В приближенных расчетах принимают Pr =1, но в тех случаях, когда требуется значительная точность, например при измерении температур потока, следует Pr определять точно.

В разделе «Параметры изоэнтропийного торможения»[12] при рассмотрении метода измерения температур в газовом потоке был введен коэффициент восстановления температуры

(здесь Т_Т=Т_с — температура стенки термометра). Очевидно, что так как для воздуха Pr <1, то и коэффициент восстановления температуры должен получиться меньше единицы. Подробные исследования показывают, что для ламинарного пограничного слоя на стенке

для турбулентного пограничного слоя

В заключение нужно отметить, что большие поперечные градиенты температур наблюдаются только внутри температурного пограничного слоя. За его пределами поток вполне допустимо считать изоэнтропным.