Отрыв пограничного слоя

Кривизна границы в направлении течения влечет за собой появление перепада давления, как вдоль течения, так и в нормальном направлении к стенке. Однако если кривизна не очень велика, а пограничный слой очень тонок, то из­менение давления по нормали к стенке ¶ p /¶ y обычно име­ет второстепенное значение. Поэтому в большинстве слу­чаев давление считается постоянным поперек слоя даже для искривленных границ. С другой стороны, даже очень малые перепады в направлении движения могут изменить течение во всем пограничном слое. Роль изменения давле­ния в направлении течения ¶ p /¶ x можно выявить из урав­нений Прандтля (7.8) с помощью следующих качественных рассуждении.

Запишем это уравнение для границы течения. Учиты­вая, что здесь при у = 0 u = 0 и v = 0, получаем

, (7.63)

так что кривизна профиля скорости в окрестности стенки определяется только перепадом давления. Пусть ¶ p /¶ x < 0 (перепад давлений направлен по течению — прямой пере­пад), тогда ¶² u /¶ y ² < 0 при у = 0 и, поскольку профиль ско­рости монотонный, то ¶² u /¶ y ² < 0 для всех у. Графически это заключение можно представить на рис. 7.10.

Рис. 7.10. Схема профиля скорости при ¶ p /¶ x < 0

Рис. 7.11. Схема профиля скорости при ¶ p /¶ x > 0

Если течение в пограничном слое имеет место в обла­сти, где ¶ p /¶ x > 0 (обратный перепад), то ¶² u /¶ y ² > 0 при y = 0. Однако и в этом случае около внешней границы по­граничного слоя ¶² u /¶ y < 0 при у» d. Следовательно, всегда при ¶ p /¶ x > 0, в профиле скорости будет появляться точка перегиба. Графически это иллюстрируется рис. 7.11.

Потери энергии и количества движения жидкостью, при­мыкающей к границе, вследствие воздействия касательных напряжений приводят к прогрессирующему замедлению потока и к утолщению пограничного слоя, как показано на рис. 7.2. Если жидкость движется в области возрастающе­го давления, когда ¶ x /¶ x > 0, то поток все более замедля­ется и в конце концов останавливается; пограничный слой отрывается от поверхности и выносит вихри внутрь потока. В точке отрыва касательное напряжение становится рав­ным нулю, т. е.

(¶ u /¶ y) _{y = 0} = 0. (7.64)

Рис. 7.12. Схема пограничного слоя вблизи точки отрыва

За точкой отрыва градиент давления вызывает медленное обратное течение (рис. 7.12), которое отделено от оторвав­шегося пограничного слоя линией тока, причем последняя подходит к поверхности тела под некоторым углом. Из со­отношения (7.11), записанного для установившегося тече­ния U ₁(¶ U ₁/¶ x) = - (¹/r) (¶ p /¶ x) видно, что появление по­ложительного градиента давления зависит от U ₁(х). Сле­довательно, отрыва пограничного слоя надо ожидать в по­токе около тела с конечной положительной кривизной, например, как круговой цилиндр, или при течении в трубе или в канале увеличивающегося поперечного сечения. От­рыв пограничного слоя имеет место при решении уравнения (7.55), когда b = - 0,1988, а также при омывании кругово­го цилиндра, где точка от­рыва определяется коорди­натой j_s = 110°.

Таким образом, пред­положение о том, что ниже по потоку за точкой отрыва вязкие эффекты ограничены областью, толщина которой пренебрежимо мала при Re ® ¥, уже не справедливо. Вычисления, основанные на гипотезе о потенциальном пото­ке за пределами y = d, справедливы только для x < x_s, где x_s точка отрыва пограничного слоя, в которой удовлетво­ряется уравнение (7.64). Положение точки зависит от значения числа Рейнольдса, однако решение уравнений по­граничного слоя совместно с уравнением (7.64) позволяет определить только предельное значение x_s при Re ® ¥.

Благодаря утолщению за точкой отрыва области, где существенны вязкие эффекты, и вследствие образования ниже по течению завихренного следа, общее сопротивление сильно возрастает. Только часть этого сопротивления обу­словлена вязким сопротивлением, определяемым из урав­нения для касательного напряжения для двумерного погра­ничного слоя.

Таким образом, теория пограничного слоя имеет дело с расчетом характеристик присоединенных пограничных слоев, начиная от передней кромки до точки отрыва . Методы расчета в окрестности точки отрыва все еще оста­ются ненадежными.

Пример 7.4. При симметричном потенциальном потоке, омывающем клин с углом при вершине bp, где b = 2 m /(m + 1), а m - показатель степени при x, когда U ₁(x) = U ₀× x^m, отрыв пограничного слоя при всех значениях x имеет место при b = - 0,1988. Нетрудно определить, что этому значению b соответствует m £ - 0,090413, т. е. не столь уж и су­щественные замедления потока. В самом деле, для отношения имеем следующие значения:

x	0,1	0,25	0,50	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
	1,2314	1,1335	1,0647	1,0	0,9640	0,9393	0,9205	0,9054

Однако изменение продольного перепада давления, который в дан­ном случае положителен, при больших значениях может оказаться весьма значительным. В этом нетрудно убедиться, если воспользоваться уравнением (202) для установившегося течения и записать

В общем случае координату точки отрыва погранично­го слоя x_s можно быстро оценить из соотношения, предло­женного Твейтсом

. (7.65)

Если теперь подставить в это выражение соотношение для скорости потенциального течения на клине , то в результате вычислений получим, что 0,20 = - m / (5 m +1), откуда m_s = - 0,1 (точное значение равно m_s = = - 0,090413).

Пример 7.5. Используя уравнение (7.65) определить координату точки отрыва пограничного слоя для замедленного потока .

Произведя вычисления, находим

откуда

и x_s = 0,1231 U₀/k.

Подставив теперь значение x_s в выражение для скорости потен­циального течения, находим, что пограничный слой отрывается, когда U₁(x) = 0,8769U₀ (точное решение:U₁(x) = 0,880U₀).

Для предотвращения явления отрыва пограничного слоя помимо уже упоминавшегося отсоса части пограничного слоя, можно использовать профилирование канала (обте­каемой поверхности).