Преобразования Лапласа

Соотношение (6.16) является частным случаем преобразования вида

(6.42)

Функция называется ядром. Для Фурье-преобразования ядром является функция вида .

Допускающие преобразование Фурье функции называются оригиналами, а функции, получающиеся в результате преобразования, - изображениями по Фурье.

Если выбрать ядро вида , (6.43)

то аналог Фурье-преобразования (6.16) запишется как

(6.44)

Равный нулю нижний предел интегрирования обусловлен предположением, что при . Интегральное преобразование (6.44), получило название в радиоэлектронике, преобразование Лапласа и имеет широкое применение благодаря тому, что интеграл (6.44) сходится практически во всех случаях, в том числе и когда не является абсолютно интегрируемой, т. е. когда преобразования Фурье не применимо. Физически это легко объяснимо, так как функция ((6.40) , представляет собой математическое описание затухающих колебаний. Преобразованный по Лапласу сигнал , или изображение в виде F(p), может рассматриваться как условный спектр функции . При этот условный спектр переходит в спектр Фурье .

Аналог обратного преобразования Фурье (6.17) применительно к (6.44) – интегральное соотношение

(6.45)

Отметим, что свойства изображений по Лапласу могут существенно отличаться от свойств оригинала (сигнала). Разрывные функции могут, например, трансформироваться в непрерывные. Единичная ступенька при t=0 непосредственным интегрированием преобразуется в (при ). Подобным образом можно найти и изображения других функций, однако к непосредственному интегрированию прибегают редко, так как изображения большого количества функций-оригиналов табулированы и их можно найти в математических справочниках. По этим же таблицам в большинстве случаев можно определить и , не прибегая к вычислениям по (6.45).

Преобразования Фурье и Лапласа, т. е. замена напряжений и токов их изображениями, позволяет преобразовать дифференциальные или интегродифференциальные уравнения, описывающие процессы в электрических цепях, в алгебраические. Решив такое алгебраическое уравнение, получим искомый сигнал в виде изображения в области мнимых или комплексных частот. Обратные преобразования (6.17) или (6.45) дают возможность трансформировать эти изображения во временную область, т. е. определить форму искомого сигнала.