При исследовании удара по вращающемуся телу кроме теоремы об изменении количества движения приходится использовать и закон моментов. Относительно оси вращения его запишем так и, после интегрирования за время удара , или где и - угловые скорости тела в начале и в конце удара, - ударные силы.
Правую часть надо немного преобразовать. Найдем, сначала, интеграл момента ударной силы относительно неподвижной точки О:
.
При этом предполагалось, что за малое время удара τ радиус-вектор считался неизменным, постоянным.
Проектируя результат этого векторного равенства на ось вращения z, проходящую через точку О, получим , т.е. интеграл равен моменту вектора импульса ударной силы относительно оси вращения. Закон моментов в преобразованном виде запишется, теперь, так:
. (10)
В качестве примера рассмотрим удар вращающегося тела о неподвижную преграду.
Тело, вращаясь вокруг горизонтальной оси О, ударяется о преграду А (рис.114). Определим ударные импульсы сил, возникающих в подшипниках на оси, и
|
|
Рис.114
По теореме об изменении количества движения в проекциях на оси х и у получим два уравнения:
где скорости центра масс С в начале и конце удара Поэтому первое уравнение станет таким
Третье уравнение, по (10), получится в виде из которого находим
И, так как коэффициент восстановления
то (в нашем примере поэтому ударный импульс S > 0, то есть направлен так, как показано на рисунке).
Находим импульсы реакции оси:
Обязательно надо обратить внимание на то, что при ударные импульсы в подшипниках оси будут равны нулю.
Место, точка удара, расположенная на этом расстоянии от оси вращения, называется центром удара. При ударе по телу в этом месте ударные силы в подшипниках не возникают.
Кстати, заметим, что центр удара совпадает с точкой где приложены равнодействующая сил инерции и вектор количества движения.
Вспомним, что при ударе длинной палкой по неподвижному предмету, мы нередко испытывали рукой неприятный ударный импульс, как говорят – «отбивали руку».
Нетрудно найти в этом случае центр удара – место, которым следует ударить, чтобы не почувствовать это неприятное ощущение (рис.115).
Рис.115
Так как (l – длина палки) и то
Следовательно, центр удара находится на расстоянии трети длины от конца палки.
Понятие центра удара учитывают при создании различных ударных механизмов и других конструкций, где встречаются ударные процессы.