Гироскопом называется симметричное твёрдое тело, быстро вращающееся вокруг одной из главных осей инерции. Чтобы ось гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, его закрепляют на кольцах так называемого карданова подвеса (рис. 9.1), в котором оси внутреннего уу и внешнего zz колец и ось гироскопа хх пересекаются в одной точке, называемой центром подвеса. Такой гироскоп имеет три степени свободы и может совершать любой поворот около центра подвеса.
Гироскоп характеризуется двумя основными свойствами. Первое свойство гироскопа с тремя степенями свободы состоит в том, что его ось стремится устойчиво сохранять в мировом пространстве приданное ей первоначальное направление. Если эта ось вначале направлена на какую-либо звезду, то при любых перемещениях прибора и случайных толчках она будет продолжать указывать на эту звезду, меняя свою ориентировку относительно осей, связанных с Землёй.
Второе свойство гироскопа обнаруживается, когда на его ось начинает действовать сила, приложенная в точке, не совпадающей с центром масс гироскопа. Казалось бы, что под действием силы ось гироскопа xx должна начать поворачиваться вокруг оси yy, а она начинает поворачиваться вокруг оси zz, т. е. вокруг направления действия силы.Это свойство получило название гироскопического эффекта. Вращение же оси вращения гироскопа вокруг направления действия силы называется прецессией.
|
|
Поведение гироскопа, на первый взгляд, противоестественное, полностью объясняется основным законом динамики вращательного движения (см. формулу на с. 22), который в этом случае удобно записать в виде
. (9.1)
Из (9.1) следует, что внешний момент силы за промежуток времени вызывает изменение момента импульса , направленное параллельно вектору момента внешней силы . Наглядно представить поведение гироскопа можно с помощью рис. 9.2.
Рис. 9.2
На рис. 9.2 гироскоп вращается вокруг оси x. Следовательно, и его угловая скорость , и момент импульса направлены вдоль оси x. При действии на ось гироскопа внешней силы, направленной вдоль оси z, возникает момент силы, который, согласно определению момента силы , направлен вдоль оси y, перпендикулярно плоскости рисунка. Т. е. вектор перпендикулярен вектору , а это значит, что он не может изменить модуль момента импульса, а изменяет только направление вектора .
Таким образом, конец вектора , а следовательно, ось вращения гироскопа x, описывает окружность вокруг оси z. Говорят, что ось вращения гироскопа прецессирует вокруг оси z.
Прецессия происходит с постоянной угловой скоростью W. Ее легко измерить на опыте, определив угол , на который поворачивается ось гироскопа за время
|
|
. (9.2)
Угловая скорость прецессии связана с величиной внешнего момента силы и угловой скоростью вращения гироскопа. Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени dt. Угол, на который ось гироскопа повернётся за это время, также бесконечно мал , поэтому длина вектора практически совпадает с длиной дуги, которую за это время описывает конец вектора .
Из рис. 9.2 следует, что
, (9.3)
где – модуль вектора , – модуль вектора .
C учетом (9.3) и (9.1), формулу (9.2) можно представить в виде
. (9.4)
Итак, при постоянной скорости вращения гироскопа скорость прецессии прямо пропорциональна модулю момента внешней силы.
В данной работе силой , действующей на ось гироскопа, является сила натяжения нити, на которой подвешен груз массой m. В данном случае ее можно считать равной силе тяжести груза . Плечо этой силы есть расстояние от центра карданова подвеса до точки приложения силы, поскольку радиус-вектор точки приложения силы и сила взаимно перпендикулярны. Таким образом, модуль момента силы равен .
Если в (9.4) подставить выражения для модуля момента силы и момента импульса тела, то она примет вид
,
откуда скорость вращения гироскопа
. (9.5)
Скорость вращения гироскопа велика для того, чтобы её можно было определить непосредственно, а формула (9.5) позволяет ее легко рассчитать, если известен момент инерции гироскопа.