Примеры решения задач. Поясним все сказанное выше на следующих примерах

Поясним все сказанное выше на следующих примерах.

Задача 4. Материальная точка массой m движется под действием постоянной по модулю и направлению силы (рис.4). Найти закон движения точки если в начальный момент времени ее координата х₀=0, а начальная скорость v₀=2 м/с.

Решение. Составляем дифференциальное уравнение движения точки в выбранной системе координат Ox и, учитывая, что , получим:

Рис. 4.

m dvx/dt = Q. Так как Q = const, то, умножая обе части уравнения на dt и беря от них интегралы, найдем, что vx = (Q/m)t + C1. Замена в этом равенстве vx на dx/dt дает

dx/dt = (Q/m)t + C₁. (а)

Разделяя переменные, снова интегрируя, получим:

x = (Q/2m)t² + C₁t + C₂. (б)

Этот результат и представляет собой для данной задачи уравнение движения материальной точки.

Теперь определим постоянные интегрирования С₁ и С₂ по заданным начальным условиям. Решения (а) и (б) должны быть справедливы в любой момент времени, в том числе и в момент t=0. Поэтому, подставляя в (а) и (б) , мы вместо v_x и x должны получить v₀ и x₀, т.е. должно быть:

v₀ = C₁ = 2м/с, и x₀ = C₂ = 0.

Окончательно закон движения материальной точки найдем в виде:

x = (Q/2m)t² + 2t, м. (в)

Как видно из уравнения (в), точка под действием постоянной силы совершает равнопеременное движение, что, впрочем, можно было предсказать и заранее, т.к., если Q = const, то и ее ускорение a = Q/m = const.

Ответ: м.

Задача 5 (сила зависит от времени). Груз весом Р начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы F, значение которой растет пропорционально времени по законуF = kt. Найти закон движения груза.

Решение.

Рис. 5.

Совместим начало отсчета т. О с начальным положением груза и направим ось Ох в сторону его движения (рис. 5). Тогда начальные условия будут: при t = 0 x = 0, vx=0. Изображаем груз в произвольном положении и показываем действующие на него силы , (сила тяжести) и (нормальная реакция горизонтальной плоскости).

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Ох:

m dv_x/dt = kt.

Учли, что проекции вертикальных сил тяжести и нормальной реакции на горизонтальную ось равны нулю.

Разделяя переменные (в дифференциальном уравнении) и интегрируя, получим

m v_x = kt²/2 + С₁.

Подставляя сюда начальные условия, найдем, что С₁=0. Тогда, заменяя в полученном уравнении v_x на dx/dt, представим его в виде:

dx/dt = (k/2m)t².

Еще раз разделяя переменные и интегрируя получим:

x = (k/6m)t³ + C₂.

Подстановка начальных условий дает С₂=0, и окончательно получаем закон движения груза в виде

x = (k/6m)t³ = (kg/6Р)t³.

Таким образом, проходимый грузом путь будет расти пропорционально кубу времени.

Ответ: м.

Задача 6 (сила зависит от координаты).

Тело падает на Землю с высоты Н без начальной скорости (рис. 6). Найти скорость тела в зависимости от расстояния между телом и поверхностью Земли, пренебрегая сопротивлением воздуха и считая силу притяжения Земли обратно пропорциональной квадрату расстояния тела от центра Земли.

Решение.

Рис. 6

Изобразим тело в текущем положении на расстоянии х от начала координат О, помещенного в центре Земли. На движущееся тело, которое рассматриваем как материальную точку, действует одна сила – сила притяжения Земли, направленная по линии, соединяющей центр Земли и тело. Эту силу в данном случае можно представить в виде

где k – постоянный коэффициент, определяемый из условия: при х = R F = mg (m – масса тела).

Тогда

.

И

Окончательно получаем

Дифференциальное уравнение движения тела в проекции на выбранную ось х будет иметь вид:

Умножим обе части уравнения на dx. Замечая, что , сокращая на массу, получим:

Интегрируя, находим

Из начальных условий: при х = R + H скорость V = V₀ = 0.

Следовательно

Таким образом

Скорость тела V_k в момент падения его на Землю найдем после подстановки конечных условий: при x = R (h=0) скорость V = V_k.

Полученное значение V_k отличается от известной формулы для скорости падения тела в пустоте под действием постоянной силы коэффициентом Для малых высот он близок к единице. При высотах падения, соизмеримых с радиусом Земли R ≈ 6370 км, скорость нужно вычислять по найденной зависимости.

Ответ:

Задача 7 (сила зависит от скорости).

Шар М массой m падает свободно без начальной скорости под действием силы тяжести из точки О, которую примем за начало координат, направив ось у по вертикали вниз (рис. 7). При этом падении шар испытывает сопротивление воздуха, сила которого , где α – постоянный коэффициент.

Найти закон движения шара.

Решение.

Рис. 7.

Дифференциальное уравнение движения шара будет иметь вид: В правой части этого уравнения имеем сумму проекций на ось у всех, действующих на шар, сил, а именно силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Сократив на массу и разделяя переменные, получим

где

Отсюда, интегрируя, находим

Произвольную постоянную С₁ найдем из начальных условий (при t=0 V = V₀ = 0), подставляя их в последнее уравнение:

Отсюда

С учетом этого значения

и, после преобразований, получим

Из последнего уравнения видно, что при t → ∞ будем иметь:

Так как функция с возрастанием t быстро убывает, то практически по истечении некоторого конечного промежутка времени движение шара становится равномерным, причем его предельная скорость будет равна

Интегрируя уравнение

в пределах от 0 до у и от 0 до t, получим

или

Ответ: , м.