Пример выполнения задания Д2

Условие задачи: решить задачу Д2 вариант 555.

Дано: V_А = 25 м/с; DЕ = 0,6 м; m = 0,3 кг; t_AB = 1,2 с; f = 0,10; R = 0,3 м.

Найти: V_В, V_С, V_D, V_E, N_C.

Рис. Д2.2

Решение.

1. Определение скорости шарика в т. В.

Рассматриваем шарик как материальную точку, движущуюся на участке АВ. Показываем шарик на этом участке (рис. Д2.2) между начальным (в точке А) и конечным (в точке В) положениями. На шарик действуют: сила тяжести , направленная вертикально вниз, сила трения , направленная в сторону, противоположную скорости шарика и нормальная реакция стенки трубки . По условию задачи известно время t_AB движения шарика на участке АВ, поэтому, для определения скорости шарика в т. В воспользуемся теоремой об изменении количества движения материальной точки в проекции на ось Х (ось Х выбираем таким образом, чтобы в любой точке на участке АВ скорость шарика проектировалась на ось Х в натуральную величину):

(1)

где: - проекция геометрической суммы импульсов сил, действующих на шарик на участке АВ, на ось Х.

Действующие на шарик на участке АВ силы постоянны, поэтому:

(2)

Сила трения:

(3)

В уравнении (2) учли, что нормальная реакция перпендикулярна оси трубки и на ось Х проектируется в ноль.

Уравнение (1) с учетом (2) и (3) примет вид:

(4)

Из уравнения (4) находим скорость :

м/с.

Вектор показываем на рисунке.

2. Определение скорости шарика в т. С.

Рассмотрим движение шарика на участке ВС. Покажем шарик между начальным положением (т. В) на этом участке и положением конечным (т. С). На шарик действуют силы: тяжести и нормальная реакция стенки трубки . Время движения шарика на участке ВС не дано, но известна разность вертикальных отметок между точками В и С, поэтому, для определения V_С воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки:

(5)

где: - кинетическая энергия шарика в т. С;

- кинетическая энергия шарика в т. В;

- сумма работ всех сил, приложенных к шарику, на участке ВС.

Определим работу сил, приложенных к шарику на участке ВС:

а) работа сил тяжести:

(6)

б) работа нормальной реакции N^/:

(7)

т.к. угол между направлениями и перемещением шарика все время равен 90°.

Уравнение (5) с учетом (6) и (7) принимает вид:

(8)

Сокращая на массу, решаем уравнение (8) относительно искомой скорости V_С:

м/с.

Вектор показываем на рисунке.

3. Определение скорость шарика в т. D.

На участке CD, так же, как и на участке ВС, на шарик действуют сила тяжести и нормальная реакция стенки трубки, и так же, как и на участке ВС, известна разность между вертикальными отметками точек С и D. Воспользуемся, для нахождения скорости V_D, теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки:

(9)

Работа силы тяжести на участке CD:

Работа силы нормальной реакции:

Уравнение (9) примет вид:

Находим скорость шарика в т. D:

м/с.

На рисунке показываем вектор .

4. Определение скорости шарика в т. Е.

На участке DE шарик движется под действием только силы тяжести (нормальная реакция стенки трубки, а, следовательно, и сила трения равны нулю). Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии точки:

Скорость шарика в точке Е:

м/с.

5. Определим давление шарика на стенку трубки в точке С.

Покажем шарик находящимся в т. С и приложим действующие на него силы: тяжести и нормальную реакцию (рис. Д2.3).

Рис. Д2.3

Составим дифференциальное уравнение движения шарика в проекции на ось у (на эту ось все силы проектируются в натуральную величину):

(10)

В уравнении (10):

м/с².

Находим нормальную реакцию:

Н.

Знак «минус» означает, что в действительности нормальная реакция стенки трубки направлена в сторону противоположную показанной на рис. Д2.3

Ответ: V_В = 14,2 м/с; V_С = 14,1 м/с; V_D = 14,3 м/с;

V_E = 14,7 м/с; N_С = -195,9 Н.

6. ЗАДАНИЕ Д3 Применение теоремы об изменении кинетической энергии механической системы для исследования ее движения

Механическая система под действием сил тяжести начинает двигаться из состояния покоя. Начальное положение системы показано на рисунке Д3.1.

Массы тел системы приведены в таблице Д-3.2.

Коэффициент трения скольжения тела 1 по плоскости: f = 0,1.

Радиусы большого круга тел 2 и 3: R₂ = 0,30 м; R₃ = 0,20 м. Зависимости между радиусами малого и большого кругов тел 2 и 3 указаны на рисунке Д3.1.

Радиусы инерции тел 2 и 3 относительно осей вращения: i₂ = 0,20 м, i₃ = 0,16 м.

Каток 4, который катится по плоскости без скольжения, считать однородным цилиндром радиусом R₄ = 0,40 м. Коэффициент трения качения катка 4: δ = 0,02 м. Углы наклона плоскостей к горизонту заданы в таблице Д-3.1. Массами нитей, которые считаем нерастяжимыми, пренебречь.

Нити, к которым прикреплены тела 1 и 4, параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Определить:

1. Направление движения механической системы.

2. Значения искомых величин в тот момент времени, когда тело 1 пройдет расстояние S = 0,5 м. Искомые величины указаны в столбце «найти» таблицы Д-3.1, где обозначено:

V₁ и V_C - скорости тела 1 и центра масс тела 4;

ω₂, ω₃, ω₄ – угловые скорости тел 2,3 и 4.

Указания: 1. Схему на рис. Д3.1 выбирать согласно последней цифре номера зачетной книжки.

2. Значения параметров из таблиц Д-3.1 и Д-3.2 выбирать в соответствии с предпоследней цифрой номера зачетной книжки.

Таблица Д-3.1 Таблица Д-3.2

вариант α β найти   30о 10о   35о 12о   40о 15о   45о 18о   50о 20о   55о 22о   60о 24о   65о 26о   70о 28о   75о 30о		вариант m1 , кг m2 , кг m3 , кг m4 , кг
вариант		вариант
1		2
3		4
5		6

Рис. Д3.1