Задание 4. 1. Отношение задано на множестве А={1,2,3,4}

1. Отношение задано на множестве А={1,2,3,4}. Постройте граф отношения Ф₁. Запишите отношение Ф₁ в виде множества. Постройте матрицу отношения Ф₁. Выясните, обладает ли отношение Ф₁ свойствами рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности. Установите, является ли отношение Ф₁ отношением порядка или эквивалентности.

Решение. Построим граф отношения Ф₁. Поострим на плоскости точки множества А. Так как , то . Точки , для которых , соединим стрелкой, направленной от к . Искомый граф изображен на рис.2.

Запишем отношение Ф₁ в виде множества. Так как , то 1Ф₁2. Так как и , то 1Ф₁3 и 1Ф₁4. Так как , то 2Ф₁4. Других пар , , удовлетворяющих отношению Ф₁, нет. Таким образом, Ф₁={(1,2),(1,3),(1,4),(2,4)}.

Рис.2.

Построим матрицу отношения Ф₁: .

Отношение Ф₁ не является рефлексивным, так как на главной диагональ не состоит из единиц.

Отношение Ф₁ является антирефлексивным, так как на главной диагонали нули.

Транспонируем матрицу отношения Ф₁: .

Отношение Ф₁ не является симметричным, так как .

Отношение Ф₁ является антисимметричным, так как у матриц нет совпадающих единиц вне главной диагонали.

Найдем произведение матрицы отношения Ф₁ на себя: . Так как , то отношение Ф₁ транзитивно.

Отношение Ф₁ не является отношением частичного порядка, не является отношением эквивалентности.

2. Пусть на бесконечном множестве задано отношение , . Выясните, обладает ли отношение Ф₂ свойствами рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности. Установите, является ли отношение Ф₂ отношением порядка или эквивалентности.

Так как , то отношение Ф₂ задано на множестве Z целых чисел.

Отметим, что целое число а делится на 2 тогда и только тогда, когда существует такое целое k, что a=2k.

Отношение Ф₂ является рефлексивным. Действительно, для произвольного разность , следовательно, xФ₂x.

Отношение Ф₂ является симметричным. Действительно, если xФ₂y, то существует такое , что x-y=2k. Но тогда y-x=2(-k), . Значит, yФ₂x.

Отношение Ф₂ является транзитивным. Действительно, если xФ₂z и zФ₂y, то существуют такие , что x-z=2k, z-y=2n. Но тогда x-y=2(k+n), . Поэтому xФ₂y.

Отношение Ф₂ является отношением эквивалентности.