Преобразование Фурье

Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом спектрального анализа непериодических сигналов. Впрочем, чуть позже мы увидим, что его можно применять и к сигналам периодическим, но это потребует использования аппарата обобщенных функций.

При спектральном анализе непериодических сигналов формула для расчета коэффициентов комплексного ряда Фурье модифицируется следующим образом:

· частота перестает быть дискретно меняющейся и становится непрерывным параметром преобразования (то есть k ω₁ в формуле (1.9) заменяется на ω);

· удаляется множитель 1/ T;

· результатом вычислений вместо нумерованных коэффициентов ряда C_k является функция частоты S (ω) - спектральная функция сигнала s (t). Иногда ее называют также спектральной плотностью.

В результате перечисленных модификаций формула (1.9) превращается в формулу прямого преобразования Фурье:

(1.11)

В формуле самого ряда Фурье суммирование, естественно, заменяется интегрированием (и, кроме того, перед интегралом появляется деление на 2π). Получающееся выражение называется обратным преобразованием Фурье:

Если анализируемый сигнал s (t) - вещественная функция, то соответствующая спектральная функция S ^·(ω) является "сопряженно-симметричной" относительно нулевой частоты. Это означает, что значения спектральной функции на частотах ω и - ω являются комплексно-сопряженными по отношению друг к другу:

Если s (t) - четная функция, то, как и в случае ряда Фурье, спектр будет чисто вещественным (и, следовательно, будет являться четной функцией). Если, напротив, s (t) - функция нечетная, то спектральная функция S ^·(ω) будет чисто мнимой (и нечетной).