Последовательность прямоугольных импульсов

Первым рассматриваемым сигналом будет последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой A, длительностью τ и периодом повторения T. Начало отсчета времени примем расположенным в середине импульса (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье - в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые a_k, равные

Внимательно рассматривая полученную формулу, можно заметить, что длительность импульсов и период их следования входят в нее не обособленно, а исключительно в виде отношения. Этот параметр - отношение периода к длительности импульсов - называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой q: q = T /τ. Введем этот параметр в полученную формулу для коэффициентов ряда Фурье, а затем приведем формулу к виду sin(x)/ x:

(1.10)

Иногда вместо скважности используется обратная величина, называемая коэффициентом заполнения (duty cycle) и равная τ/ T.

Теперь можно записать и само представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники по закону sin(x)/ x (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Коэффициенты ряда Фурье для последовательности прямоугольных импульсов

График функции sin(x)/ x имеет лепестковый характер. Говоря о ширине этих лепестков, следует подчеркнуть, что для графиков дискретных спектров периодических сигналов возможны два варианта градуировки горизонтальной оси - в номерах гармоник и в частотах. На рис. 1.4 градуировка оси соответствует номерам гармоник, а частотные параметры спектра нанесены на график с помощью размерных линий.

Итак, ширина лепестков, измеренная в количестве гармоник, равна скважности последовательности (при k = nq имеем sin(π k / q) = 0, если n ≠ 0). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов - в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратными скважности.

Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов - 2π/ T. Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты, равна 2π/τ, то есть обратно пропорциональна длительности импульсов. Это, как мы увидим далее, проявление общего закона - чем короче сигнал, тем шире его спектр.