Доказательство. Достаточные условия экстремума функции

Достаточные условия экстремума функции.

Определение. Пусть функция f (x) определена всюду в некоторой окрестности точки с. Говорят, что функция f (x) имеет в точке с локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки с, в пределах которой значение f (с) является наибольшим (наименьшим).

Локальный максимум и минимум объединяются общим названием экстремум.

Первое достаточное условие экстремума.

Теорема 9.1. Пусть

- точка с является точкой возможного экстремума функции f (x),

- f (x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с.

Тогда, если в пределах указанной окрестности слева от точки с и справа от точки с, то функция f (x) имеет в точке с локальный максимум (минимум). Если же f’ (x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет.

Доказательство.

1). Пусть слева от точки с и справа от с. Обозначим x ₀ ¹ c любое значение аргумента из рассматриваемой окрестности. Достаточно доказать, что

Функция f (x) дифференцируема (а следовательно, непрерывна) на сегменте . По формуле Лагранжа (формула конечных приращений)

(1)

где x лежит между c и x ₀. Т.к. при и при , то правая часть (1) положительна (отрицательна).

2). Пусть теперь f’ (x) имеет один и тот же знак слева и справа от c. Обозначая через x ₀ любое значение аргумента, отличное от c, и повторяя проведенные выше рассуждения, мы докажем, что правая часть (1) имеет разные знаки слева и справа от с. Это доказывает отсутствие экстремума в точке с.