Необходимое условие перегиба графика функции

Определение. Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки с оси абсцисс, в пределах которой график функции слева и справа от с имеет разные направления выпуклости. (см. рисунок).

Иногда при определении точки перегиба графика функции дополнительно требуют, чтобы этот график всюду в пределах достаточно малой окрестности точки с оси абсцисс слева и справа от с лежал по разные стороны от касательной к этому графику в точке .

Лемма 1. Пусть функция имеет производную f’ (x) всюду в d -окрестности точки с, причем эта производная непрерывна в точке с. Тогда, если график имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вверх), то всюду в пределах интервала этот график лежит не ниже (не выше) касательной, проведенной в точке .

Доказательство. Рассмотрим последовательность точек интервала , сходящуюся к точке с. Через каждую точку графика проведем касательную к этому графику, т.е. прямую

Т.к. по условию имеет на интервале выпуклость, напрвленную вниз (вверх), то для любого n и любой фиксированной точки x интервала

(£ 0) (1)

Из непрерывности f’ (x) в точке с следует, что существует предел

(2)

Из (2) и (1) следует, что

(£ 0) (3)

Если обозначить через Y текущую ординату касательной, проходящей через точку , то (3) можно переписать в виде

(£ 0) (4)

Переходя в неравенстве (1) к пределу при получим, что

(£ 0) (5)

для любой фиксированной точки x из интервала .