Основные свойства определенного интеграла. Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Доказательство:

.

Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

Доказательство:

.

Свойство 3. Если отрезок интегрирования разбить на два отрезка и , то интеграл по всему отрезку будет равен сумме интегралов по отрезкам и :

.

Доказательство:

.

Свойство 4. При перемене местами пределов интегрирования интеграл изменяет знак:

.

Доказательство следует из определения определенного интеграла ( при ).

Свойство 5. Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

.

Доказательство следует из свойства 4 (при ):

.

Свойство 6. Интеграл от постоянной величины равен этой постоянной, умноженной на длину отрезка интегрирования:

.

Доказательство:

.

Свойство 7. Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , то

.

Доказательство дается переходом к пределу при в очевидных неравенствах:

.

Свойство 8. Абсолютная величина интеграла от данной функции не превышает интеграла от абсолютной величины этой же функции:

.

Доказательство. Так как на основании свойства абсолютной величины числа для , то

откуда при переходе к пределу при получаем:

а это равносильно неравенству, которое требовалось доказать.

Свойство 9 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует такая точка с, что справедлива формула

называемая формулой среднего значения функции на отрезке .

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то по второй теореме Вейерштрасса

.

Отсюда на основании свойства 7 получаем

или

Положим

Так как функция непрерывна на отрезке , то по второй теореме Больцано-Коши на отрезке найдется такая точка с, что . Поэтому

что и требовалось доказать.