Пусть векторная функция
определена и непрерывна на некоторой поверхности в пространстве
Разобьем поверхность произвольным образом на n частей с площадями (рис. 8.3). В каждой частичной области выберем произвольную точку и составим сумму
,
где , – единичная нормаль к поверхности в точке .
Данная сумма называется интегральной суммой для векторной функции в области (на поверхности) .
Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей :
.
Рис. 8.3. Разбиение поверхности на частичные области в случае
поверхностного интеграла второго рода
Определение. Поверхностным интегралом второго рода от функции по поверхности называется предел интегральных сумм при , если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения поверхности на частичные области , ни от выбора в каждой из них точки :
или в другой записи:
,
где векторный элемент поверхности
и скалярное произведение
.
Функция
называется интегрируемой по поверхности , сама – поверхностью интегрирования.
|
|
Теорема 8.2 (существования поверхностного интеграла второго рода) (без доказательства). Функция , непрерывная на кусочно-гладкой поверхности , интегрируема по этой поверхности.
Основные свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны соответствующим свойствам поверхностного интеграла первого рода, за исключением свойства 5:
При изменении стороны поверхности интегрирования интеграл изменяет знак (так как переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности на противоположное):
,
где и – стороны поверхности интегрирования .
Простейший физический смысл поверхностного интеграла второго рода – количество жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность с установившейся скоростью .
Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению суммы трех двойных интегралов следующим способом.
Если – выражения, полученные из уравнения поверхности разрешением относительно соответствующих координат; – проекции поверхности соответственно на плоскости , , ; – единичная нормаль к поверхности в точке (рис. 8.3), то
,
где знаки у двойных интегралов соответствуют знакам направляющих косинусов нормали к поверхности .
Пример. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
,
где – верхняя сторона плоскости , отсеченная плоскостями и лежащая в первом октанте (рис. 8.4).
Рис. 8.4. Пример вычисления поверхностного интеграла второго рода
Обозначим через – проекции поверхности на плоскости , , соответственно. Как видно из рис. 8.4, направляющие косинусы нормали к поверхности , а , так как плоскость параллельна оси Oy. Следовательно, по формуле вычисления поверхностного интеграла второго рода получим:
|
|
.