Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Пусть некоторое событие A может произойти при условии, что появится одно из несовместных событий (гипотез) B ₁, B ₂,..., B_n, образующих полную группу событий.

Вероятность события A, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий B ₁, B ₂,..., B_n, образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

(26)

Это равенство называют формулой полной вероятности, где – вероятность наступления события A при наступлении гипотезы B_i.

Пусть событие A произошло. Это изменит вероятности гипотез B ₁, B ₂,..., B_n и условная вероятность гипотезы P_A (B_k) в предположении, что событие A произошло, определится по формуле Бейеса:

. (27)

Пример 1.22. В урне 10 шаров, из них 4 белых. Один шар, цвет которого неизвестен, укатился. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

Решение. Пусть событие A – «вынутый шар белый». Возможны следующие предположения (гипотезы) о цвете укатившегося шара:
B ₁ – «утерянный шар белый», B ₂ – «утерянный шар не белый».

; .

Вероятность вынуть белый шар при условии, что укатился белый шар, равна . Вероятность вынуть белый шар при условии, что укатился не белый, равна .

Согласно формуле полной вероятности (26) определим искомую вероятность:

.

Пример 1.23. Имеются 3 одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором – три белые и одна серая, в третьем – две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Решение. Событие A – «из наугад выбранного ящика извлечена белая мышь». Возможны следующие гипотезы: B ₁ – «выбор первого ящика», B ₂ – «выбор второго ящика», B ₃ – «выбор третьего ящика».

Так как все ящики одинаковы, то .

Вероятность выбора белой мыши из первого ящика равна , вероятность выбора белой мыши из второго ящика – , вероятность выбора белой мыши из третьего ящика – .

Следовательно, .

Пример 1.24. Три охотника произвели залп, причем две пули попали в лису. Какова вероятность того, что первый охотник попал в цель, если вероятности попадания первым, вторым и третьим охотниками соответственно равны 0,4; 0,3; 0,5?

Решение. По условию p ₁ = 0,4, p ₂ = 0,3, p ₃ = 0,5. Тогда по формуле (18) q ₁ = 1 – 0,4 = 0,6, q ₂ = 1 – 0,3 = 0,7, q ₂ = 1 – 0,5 = 0,5.

Пусть событие А – «два охотника попали в лису». Приведем два предположения (гипотезы): B ₁ – «первый охотник попал в лису»,
B ₂ – «первый охотник не попал в лису».

По условию P (B ₁) = p ₁ = 0,4; P (B ₂) = q ₁ = 0,6.

Искомая вероятность того, что первый охотник попал в лису, по формуле Бейеса (27) равна:

.

Найдем условную вероятность того, что в лису попали два охотника, причем одна пуля принадлежит первому охотнику. Следовательно, вторая пуля принадлежит либо второму, либо третьему охотнику:

.

Вероятность того, что в лису попали два охотника, причем первый промахнулся, равна .

Следовательно, .