Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрица записывается в виде:
или сокращенно как А=(aij), где i= 1,2,…, m; i =1,2,…, n.
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором или вектором-столбцом, вектором-строкой соответственно.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n, называется квадратной матрицей n-го порядка.
Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т.е. с индексами i¹j) равны нулю.
Единичной называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали (обозначается Е).
Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.
Примеры матриц: а) квадратная; б) диагональная; в) единичная; г) нулевая:
а) ; б) ; в) ; г) .
Каждой квадратной матрицей n -го порядка можно поставить в соответствие число Δ(detA), называемое ее определителем.
При n=1 А=(а 1); Δ=detA= а 1.
При n=2 ; Δ= a11a22-a12a22.
При n=3 ;
Δ= = a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a13a22a31-a21a12a33-
-a32a23a11.
Для вычисления определителей второго и третьего порядков можно пользоваться следующими схемами:
|
|
при n=2;
при n=3.
Основные свойства определителей:
1. Значение определителя не изменяется, если заменить его строки столбцами и наоборот.
2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
4. Общий множитель элементов какого-либо ряда можно вынести за знак определителя в качестве сомножителя.
5. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.
Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент аij. Обозначается минор как Мij.
Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор Мij, умноженный на (-1) i+j, т.е. Аij =(-1) i+jMij.
Определитель любого порядка можно представить как сумму произведений элементов какого-либо ряда определителя на соответствующие им алгебраические дополнения.
_________________
1.1.1. Вычислить определители:
а) ; б) ; в) .
Ответ: а) 26; б) 7; в) 1.
1.1.2. При каких значениях а обращается в ноль определитель Δ= ?
Ответ: ±2
1.1.3. Вычислить определитель по правилу треугольников
а) .
Ответ: а) 47; б)0.
1.1.4. При каких значениях а обращается в ноль определитель
?
Ответ: (1;-2)
1.1.5. Вычислить определитель путем разложения по элементам 3-го столбца
.
Ответ: (-48).
1.1.6. Вычислить определитель с помощью разложения по элементам второй строки
.
Ответ: (-15).
1.1.7. Вычислить определители
|
|
а)
Ответ: а) 0, б) 28.
1.1.8. Вычислить определители
Ответ: а) -38; б) 27; в) -1; г) 2 а; д) sin 2a- sin 2b.
1.1.9. Вычислить определитель с помощью разложения по элементам какого-либо ряда и проверить по правилу треугольников
Ответ: а) 73; б) 23.
1.1.10. Упростить и вычислить определители:
Ответ: а) -156; б) 0.
1.1.11. Решить уравнение
.
Ответ: (2;3).