С m неизвестными

Система m линейных уравнений с m неизвестными имеет вид:

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных

называется главным определителем системы.

Если Δ≠0, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по правилу Крамера:

, где i=1,2,…, m.

Определители Δx_i получаются из главного определителя системы путем замещения элементов i-го столбца столбцом свободных членов.

Пример. Решить систему уравнений

. (1)

Другим способом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса или метод исключения, который состоит из двух этапов. На первом этапе путем линейных преобразований уравнений системы заданная система приводится к ступенчатому, в частности, треугольному виду; на втором этапе определяются значения неизвестных. В качестве примера решим систему (1) методом Гаусса.

Разделим все члены первого уравнения системы (1) на коэффициент а ₁₁=2. Получим систему

. (2)

Умножим все члены первого уравнения на 3 и вычтем их из второго уравнения, затем из третьего уравнения вычтем первое, само первое уравнение системы (2) оставим без изменения. Тогда будем иметь

. (3)

Разделим все члены второго уравнения на 0,5:

. (4)

Умножим второе уравнение на -0,5 и вычтем его из третьего, при этом первое и второе уравнения системы (4) оставим без изменения

. (5)

На этом завершен так называемый прямой ход метода Гаусса. Неизвестные находятся в обратной последовательности. Из последнего уравнения находим х ₃=3, из второго следует х ₂, из первого х ₁=0,5-0,5∙2+0,5∙3=1.

Замечания. Следует иметь в виду, что если главный определитель системы Δ≠0, то система имеет единственное решение. Если Δ=0, но хотя бы один из определителей Δ х _i ≠0, то система не имеет решений. Если Δ=0 и все определители Δ х _i =0, то система имеет бесчисленное множество решений.

______________

1.2.1. Решить системы уравнений по правилу Крамера:

а) ; б) ; в) .