Пусть в области задана функция двух переменных .
Определение. Функция в окрестности точки , задана неявно уравнением
, (20)
если при всех из этой окрестности справедливо равенство .
Заметим, что обычное, «явное» задание функции можно рассматривать как частный случай неявного задания: ; здесь .
Теорема. Пусть для неявной функции , задаваемой уравнением , имеем , так что
, (21)
и выполняются три условия:
1. Неявная функция непрерывна в точке .
2. Функция и ее частные производные непрерывны в точке .
3. .
Тогда неявная функция дифференцируема в точке , и
.
Доказательство. Придадим переменной в точке приращение ; оно, в свою очередь, вызовет приращение неявной функции, и, как следствие, полное приращение функции :
.
Пара чисел , будучи аргументом и значением неявной функции, также удовлетворяет уравнению (20), то есть
. (22)
При этом в силу непрерывности функции имеем: =0.
Теперь, с одной стороны, из (21) и (22) следует
,
а с другой стороны, ввиду непрерывности частных производных, для имеет место представление (4):
|
|
с бесконечно малыми при . Таким образом,
.
Выразим отсюда :
(знаменатель в правой части отличен от нуля в малой окрестности точки ввиду условий и ). Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем:
.
Пример. Пусть неявная функция задана уравнением
;
здесь . Точка удовлетворяет уравнению, так что для неявной функции имеем: . Далее,
; .
Поэтому
.
и .