Пусть в области задана функция двух переменных:
, (11)
у которой переменные и являются функциями одной переменной :
. (12)
Тогда является сложной функцией одной независимой переменной с промежуточными переменными и :
(13)
(рис. 10).
Рис. 10
Рассмотрим задачу нахождения производной этой сложной функции на основании уравнений (11 и (12) без использования явной записи (13).
Теорема. Пусть , и выполняются два условия: удовлетворяет двум условиям:
1. В окрестности точки существуют частные производные , непрерывные в самой точке .
2. Функции дифференцируемы в точке .
Тогда сложная функция дифференцируема в точке , и для ее производной справедлива формула:
. (14)
Доказательство. Придадим независимой переменной в точке приращение ; оно вызовет приращения промежуточных переменных , которые в свою очередь вызовут приращение сложной функции . В силу непрерывности частных производных (условие 1) к приращению применима формула (4):
,
откуда, деля на , получаем:
. (15)
Здесь — постоянные величины для фиксированной точки . Далее, функции , будучи дифференцируемыми в точке , являются также и непрерывными в этой точке, так что
|
|
, ,
а тогда и величины в представлении (15) также стремятся к нулю.
Переходя в равенстве (15) к пределу при , получаем:
,
и далее, на основании свойств предела:
.
Пример. Пусть , где . Тогда
.
Далее,
.
Поэтому
Рассмотрим теперь случай, когда у функции двух переменных одна из переменных, например , является функцией другой: . Тогда оказывается сложной функцией от с двумя промежуточными переменными и .
Этот случай сводится к последней теореме, если считать, что обе промежуточные переменные являются функциями одной независимой переменной , которая в этом последнем случае играет роль переменной :
, (16)
, (17)
так что
, (18)
причем функция в общей схеме (12) является «тождественной»: .
Формула (14) при этом преобразуется к виду:
. (19)
Отметим, что полная производная в левой части (19) определяется функцией (18), а частная производная в первом слагаемом правой части ― функцией (16).
Пример. Пусть , причем . Тогда
, , .
Поэтому
.