Теория вопроса

Затухающие колебания. Как известно, в колебательных системах при наличии трения и в отсутствие поступления энергии извне колебания являются затухающими. В случае электромагнитных колебаний роль трения играет омическое сопротивление контура.

Рассмотрим колебательный контур, в котором имеется омическое сопротивление R и конденсатору С в начальный момент времени сообщён заряд q₀. Конденсатор начинает разряжаться, при этом в катушке, обладающей индуктивностью L возникает ЭДС самоиндукции, определяемая по формуле . Согласно второму закону Кирхгофа для замкнутого контура сумма напряжений равна сумме действующих в нём ЭДС:

U_C + U_R = Å₁ или .

Учитывая, что i = dq/dt, данное выражение примет вид:

.

(1)

Последнее совпадает с каноническим уравнением затухающих колебаний:

,

(2)

где w₀ - собственная частота колебаний системы, b - коэффициент затухания. Решением уравнения является периодическая функция со спадающей амплитудой

,

причём циклическая частота затухающих колебаний:

.

(3)

Следовательно, (2) примет вид:

,

(4)

где, как следует из уравнений (1) и (2), с учётом (3),

, , .

(5)

,

(6)

колеблется с той же частотой w и тем же коэффициентом затухания b.

Характер затухания зависит от соотношения w₀ и b или, как следует из (5), от R, L и С контура.

Рассмотрим три характерных случая.

1. b << w₀. Слагаемым b²в (3) можно пренебречь, тогда колебания происходят с частотой w₀ и затухание выражено очень слабо. При росте b, что достигается увеличением R контура, частота колебаний w будет уменьшаться, а затухание проявляться всё ярче.

2. b» w₀. При этом w ® 0 и процесс становится апериодическим. Это имеет место при омическом сопротивлении контура R_КР, называемое критическим. R_КР определяется из последнего из (5):

.

.

(7)

В этом случае колебания очень быстро (спустя 2-3 периода) затухают полностью.

3. b > w₀ или R > R_КР. В этом случае w является величиной чисто мнимой и разряд носит ярко выраженный апериодический характер. Эти явления отражены графически на рис. 1.

Рис. 1. Графики колебаний в контуре при различных RКР.

Скорость затухания характеризуется декрементом затухания, представляющим собой отношение двух последовательных амплитуд:

.

(8)

Как следует из (6),

.

Декремент достаточно нагляден, но для теоретических выкладок удобнее пользоваться логарифмическим декрементом

d = lnD = bT.

(9)

Для случая R << R_КР.

и .

(10)

Как следует из (6), за время t = 1/b амплитуда колебаний убывает в е раз. За это время произойдёт N колебаний:

(11)

Величина N характеризует степень устойчивости колебательной системы к диссипативным процессам. Однако в теории удобнее пользоваться не самой N, а параметром

,

(12)

называемым добротностью колебательной системы. Добавим, что добротность характеризует и резонансные свойства системы: чем больше добротность, тем острее резонанс. Для колебательного контура, как следует из (10) и (12), справедливо соотношение

.

(13)

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Оборудование: электронный осциллограф (ЭО), батарея конденсаторов, магазин сопротивлений, катушка с сердечником.

Если контурный конденсатор однократно зарядить и получить осциллограмму его разряда, она только мелькнёт на экране, поскольку время разряда составляет доли секунды. Поэтому конденсатору необходимо периодически сообщать импульсы заряда (напряжения) и, подбирая частоту развёртки, получить на экране устойчивую картину затухающих колебаний в контуре. Импульсы напряжения подаются в контур от гнезда на задней панели осциллографа через переходной конденсатор малой ёмкости.

Рис. 2. Схема для наблюдения затухающих колебаний в контуре.

Задание 1. Соберите схему, как показано на рис. 2. Катушка используется без сердечника, ёмкость конденсатора - 2-4 мкф, сопротивление магазина - несколько Ом. Получите устойчивую картину на экране осциллографа. Затем, постепенно увеличивая сопротивление контура, пронаблюдайте изменения в характере колебаний. По виду осциллограммы оцените значение R_КР зарисуйте осциллограммы для случаев R < R_КР, R» R_КР, R > R_КР и запишите значения R.

По прилагаемым значениям индуктивности катушки вычислите теоретическое значение R_КР по формуле (7) и сравните с оцененным по осциллограммам. Вычислите для полученных осциллограмм значения добротности контура по формуле (13).

Задание 2. Получите и зарисуйте осциллограммы колебаний в контуре с катушкой без сердечника и с ним, причём R < R_КР. По формуле (5) вычислите, во сколько раз должна измениться частота (период) колебаний, сравните с оценками по полученным осциллограммам.

Задание 3. Получите и зарисуйте осциллограммы для R < R_КР при неизменной индуктивности. Для двух значений ёмкости, отличающихся в 4 раза. Сравните изменение частоты (периода) по формуле (5) и по осциллограммам.

Теоретический материал. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания. Частота колебаний в контуре. Затухающие колебания. Частота затухающих колебаний. Коэффициент затухания, декремент, логарифмический декремент, добротность колебательной системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2-3. 3-е изд. - М.: Наука, 1988.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.3. Электричество. ‑ М.: Наука, 1977.

3. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. - М.: Наука, 1983.

4.Калашников С.Г. Электричество. - М.: Наука, 1988.